Теорема о непрерывности функции

[Alexey1]

Объясните пожалуйста доказательство следующей теоремы.
Теорема. Если $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
При $x \neq x_0$ запишем,
$f(x)= \frac {f(x)-f(x_0)} {x-x_0} (x-x_0) + f(x_0)$
Затем берётся предел левой и правой части и теорема доказана.

Возникает такой вопрос.
Каким образом $f(x)= \frac {f(x)-f(x_0)} {x-x_0} (x-x_0) + f(x_0)$ если ни Теоремы Тейлора, ни дифференциалов ещё не объяснено.

[Полосин]

Это просто тождество, убедитесь сами.

[Alexey1]

Так просто, спасибо.

[ewert]

Какое-то извилистое док-во. Стандартный вариант: если предел отношения равен $A$, то $\lim(f(x)-f(x_0))=A\cdot\lim(x-x_0)=0.$

[Alexey1]

Так ведь тут используется тоже самое: предел произведения равен произведению пределов (если оба предела существуют).
Скажите, получается, что если функция имеет $n$-ую производную на интервале $[a,b]$, то все производные до $n$ и сама функция непрерывны. Верно?

[Brukvalub]

Alexey1 в сообщении #182663 писал(а):

Скажите, получается, что если функция имеет $n$-ую производную на интервале $[a,b]$, то все производные до $n$ и сама функция непрерывны. Верно?

Все верно, кроме одного: $[a,b]$ - отрезок, а не интервал.