Распределение произведения случайных величин

[ustinoff]

Помогите решить один пример:
Даны распределения плотности двух случайных величин. Необходимо найти плотность их произведения.
В случае суммы всё понятно... применяем свёртку или перемножаем характеристические функции, а как в случае умножения? Нашёл только в справочнике Бранштейн/Семендяев следующую формулу:

$Z=X \cdot Y$ \\ $P(z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x,\frac{z}{x})\frac{1}{|x|}dx$

Но как решить сей интеграл??? Может кто на конкретном примере покажет как его брать?

[Henrylee]

Ну так Вы же не в общем виде его брать собираетесь? Возьмите конкретную плотность и считайте. Тогда и будт ясно, есть у Вас с ним проблемы или нет.
Лично я такие формулы не запоминаю, а поступаю так

$$ P\{Z\leqslant t\}=P\left\{Y\leqslant\frac{t}{X}\right\}= $$

а дальше все сводится к двойному интегралу от плотности по определенной области.

[--mS--]

Henrylee писал(а):

Лично я такие формулы не запоминаю, а поступаю так

$$ P\{Z\leqslant t\}=P\left\{Y\leqslant\frac{t}{X}\right\}= $$

а дальше все сводится к двойному интегралу от плотности по определенной области.

Разве $X > 0$ п.н.?

[Henrylee]

--mS-- писал(а):

Henrylee писал(а):

Лично я такие формулы не запоминаю, а поступаю так

$$ P\{Z\leqslant t\}=P\left\{Y\leqslant\frac{t}{X}\right\}= $$

а дальше все сводится к двойному интегралу от плотности по определенной области.

Разве $X > 0$ п.н.?

Нет, конечно, это я схематично.

[ustinoff]

дело в том что я не понимаю как єтот ингеграл записать в принцепе... ну если не тяжело то запишите мне этот интеграл для двух любых распределений, к примеру равномерное от 1 до 2 и эеспоненциальное с лямбдой 4,

[ИСН]

Я не понимаю, чего Вы не понимаете, но если с суммой всё понятно, то смотрите, ведь и произведение - та же сумма (логарифм, туда-сюда).

[--mS--]

ustinoff писал(а):

Нашёл только в справочнике Бранштейн/Семендяев следующую формулу:

$Z=X \cdot Y$ \\ $P(z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x,\frac{z}{x})\frac{1}{|x|}dx$

Попробую угадать, что непонятно. Функция $f(x,\,\frac{z}{x})$ под интегралом - это плотность совместного распределения случайных величин $X$ и $Y$. Берёте плотность совместного распределения $f_{X,Y}(x,y)$ и подставляете $\frac{z}{x}$ вместо $y$.

[ustinoff]

дело в том что в таком случае нужно будет разбивать интегнал на суммы в зависимости от значений а и б равномерного закона? я прав или нет?

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

ИСН писал(а):

Я не понимаю, чего Вы не понимаете, но если с суммой всё понятно, то смотрите, ведь и произведение - та же сумма (логарифм, туда-сюда).

ну представить произведение через сумму логорифмов не проблема, меня смущает обратное преобразование...

[--mS--]

ustinoff писал(а):

дело в том что в таком случае нужно будет разбивать интегнал на суммы в зависимости от значений а и б равномерного закона? я прав или нет?

В каком-то смысле прав, но в этих суммах лишь одно слагаемое будет ненулевым, где плотность отлична от нуля.