непрерывность интегрируемой функции

[Руст]

Интегрируемые функции определяются с точностью до меры 0, точнее две фугкции f(x) и g(x) считаются эквивалентными, если их значения отличаются только на множестве меры 0. Вопрос: Существует ли для пюбой интегрируемой функции её представитель, являющейся непрерывной за исключением только счётного числа точек.

[shwedka]

Я думаю, что нет.
Возьмем Канторово множество. Его дополнение состоит из интервалов.
зададим функцию как
$n(-1)^n$ на всех интервалах поkоления n.
Функция интегрируема, и разрывна в каждой точке Канторова множества, и ее при всем желании не починить.

[er]

Кажется, пример можно модифицировать так, что множество точек обязательного разрыва будет плотно на прямой и локально не счетно.