Уравнение с многоэтажной дробью

[AndreyXYZ]

Решить уравнение

$$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}}}=x$$

. Не смог записать правильно (с многоточием), но в левой части $n$ дробей.

[ИСН]

Сверните этот небоскрёб в обыкновенную дробь, и будет Вам счастье.

[ewert]

Обозначьте левую часть через $y_n$. При постепенном вычислении $y_1$, $y_2$, $y_3$ и т.д. выявляется некая закономерность:

$$y_n={a_kx+a_{k+1}\over a_{k+1}x+a_{k+2}},$$

где $a_k$ -- это числа Фибоначчи. Но дело не в том, что они Фибоначчи, а в том, что удовлетворяют соотношению $a_{k}+a_{k+1}=a_{k+2}.$ Докажите это соотношение по индукции. А если оно доказано -- что получится, если привести уравнение $x-y_n=0$ к общему знаменателю?

--------------------------------------------------------------------------
Это первое, что приходит в голову. Но если ответ уже получен, то доказать его можно проще. Предположите, что ответ не зависит от $n$. Выведите отсюда, что тогда (и только тогда) ${1\over x}-1=x$. А поскольку это уравнение имеет два решения -- и поскольку исходное уравнение заведомо квадратное -- предположение оправдывается.

[AndreyXYZ]

Только что решил Вашим способом. Получил уравнение $x^2-x-1=0$. Но нельзя ли решить проще?

[ewert]

см. дополнение -- может, и понравится.

[ИСН]

Holy shit! Свели к квадратному уравнению, а Вам хочется ещё проще? Да куда ж проще-то?

[AndreyXYZ]

Теперь я доволен. Спасибо!

[TOTAL]

Перепишем так

$${1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}}}=\frac{1}{x-1}$$

(здесь уже на одну дробь меньше)
Обозначим

$$y=\frac{1}{x-1}$$

, откуда

$$x=1+\frac{1}{y},$$

т.е.

$$x$$

и

$$y$$

удовлетворяют одному уравнению, поэтому

$$x=\frac{1}{x-1}$$