Строгая постановка задачи

[Норберт]

Нужно решить задачу о распаде разрыва для системы двух уравнений
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} = 0,\\ \frac {\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \end{array} \right. $
с начальными условиями
$ v(0, x) = \left\{ \begin{array}{l} v_1 \forall x \in [0, +\infty),\\ v_2 \forall x \in (-\infty, 0), \end{array} \right. \rho(0, x) = \left\{ \begin{array}{l} \rho_1 \forall x \in [0, +\infty),\\ \rho_2 \forall x \in (-\infty, 0), \end{array} \right. $
в области $\Omega = \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}$ причем $v_1 < v_2$. Второе уравнение есть уравнение Брюгерса и для случая $v_1 < v_2$ его решение имеет вид
$ v(t, x) = \left\{ \begin{array}{l} v_1 \forall x \geqslant \frac{(v_1+v_2) t}{2},\\ v_2 \forall x \leqslant \frac{(v_1+v_2) t}{2}, \end{array} \right. $
Можно показать что первое уравнение не имеет решений в классе кусочно непрерывно-дифференцируемых функций. Интуитивно ясно, что решением должна быть дельта функция... Поэтому первое уравнение запишем в иной форме. К "успеху" приводит такой подход: функция $\rho(x,t)$ есть решение если $\forall x_1 \in \mathbb{R}$ $\forall x_2 \in \mathbb{R}$ выполнено
$\frac{\partial}{\partial t} \int \limits_{x_1}^{x_2} \rho(t,\xi) d\xi + \rho(t,x_2) v(t, x_2) - \rho(t,x_1) v(t, x_1) = 0$. (*)
Тогда искомая функция будет обощенная функция
$\rho(t,x) = \rho(0,x) + \frac{(\rho_1 + \rho_2)(v_2 - v_1)}{2} \delta(x - \frac{(v_1+v_2) t}{2})$ (**)
В этом можно действительно убедиться, если сделать подстановку и закрыть глаза на то что мы умножаем обощенную функцию $\rho(t,x)$ на разрывную функцию $v(t,x)$ и берем интеграл от дельта функции так как это любят делать физики.

А теперь вопрос, подскажите строгую постановку чтобы полученная функция (**) в такой постановке была решением уравнения (*). Брать в качестве обощенных функции из $\mathcal{D}(\Omega) = \mathcal{L}(C^\infty(\Omega),\mathbb{C})$ нельзя так как $v(t,x)$ разрывна. Непонятно как трактовать интеграл от дельта функции $\delta(x - \frac{(v_1+v_2) t}{2})$. В общем ПОМОГИТЕ!

[Андрей123]

Норберт писал(а):

Поэтому первое уравнение запишем в иной форме. К "успеху" приводит такой подход: функция $\rho(x,t)$ есть решение если $\forall x_1 \in \mathbb{R}$ $\forall x_2 \in \mathbb{R}$ выполнено
$\frac{\partial}{\partial t} \int \limits_{x_1}^{x_2} \rho(t,\xi) d\xi + \rho(t,x_2) v(t, x_2) - \rho(t,x_1) v(t, x_1) = 0$. (*)
Тогда искомая функция будет обощенная функция
$\rho(t,x) = \rho(0,x) + \frac{(\rho_1 + \rho_2)(v_2 - v_1)}{2} \delta(x - \frac{(v_1+v_2) t}{2})$ (**)
В этом можно действительно убедиться, если сделать подстановку и закрыть глаза на то что мы умножаем обощенную функцию $\rho(t,x)$ на разрывную функцию $v(t,x)$ и берем интеграл от дельта функции так как это любят делать физики.

Давайте здесь поподробнее. Мне сразу не видно, что полученная функция является решением уравнения (*)(я почему-то думаю, что это не так). Проведите хотя бы формальные преобразования.

[Норберт]

решение надо искать в виде мера-значной функции времени. Надо было просто поворошить arXiv