Оценка погрешности интерполяции.

[Draeden]

Для интерполяционных формул обычно дают оценку погрешности. Меня интересует как её получают.

Допустим есть бесконечно дифф. функция $y$ Я нашёл такой многочлен $L$ который совпадает с функцией $y$ на нескольких точках:

$\forall x \in \{ x_1, \ldots, x_n \} y(x)=L(x)$

Такой многочлен всего один и его степень равна $n-1$.
Теперь оценим погрешность в произвольной точке на отрезке $[x_1,x_n]$ который содержит все точки $x_k$:

$R(x)=y(x)-L(x)=\frac{y^{(n)}(\xi)}{n!} \prod_{k=1}^n(x-x_k)$

где $\xi$ Это некоторая точка из интервала $(x_1,x_n)$.
Как это получено ?

[vlad239]

Draeden писал(а):

$R(x)=y(x)-L(x)=\frac{y^{(n)}(\xi)}{n!} \prod_{k=1}^n(x-x_k)$

где $\xi$ Это некоторая точка из интервала $(x_1,x_n)$.
Как это получено ?

Скорее всего индукцией и теоремой об остатке в форме Лагранжа. Попробуйте строить многочлен методом Ньютона и вычитать его из функции. Не забывая, что производные многочленов зануляются.

Влад.

[ewert]

Стандартная процедура такова. Имеет смысл искать погрешность в виде $g(x)\cdot(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$, поскольку гарантированные корни погрешности нам известны. В самих узлах множитель $g(x)$ не определён, но это не имеет значения. Теперь разводим здесь аргументы -- рассматриваем функцию
$\varphi_x(t)\equiv y(t)-L(t)-g(x)\cdot(t-x_1)(t-x_2)\cdots(t-x_n)$,
где $t$ интерпретируется как переменная, а $x$ -- как параметр, не совпадающий ни с одним из узлов. И, поманипулировав с теоремой Ролля, получаем ровно то, что надо. А подробнее -- в любом учебнике по численным методам.

[Draeden]

Действительно получается

[ewert]

И, кстати, уточним. Гарантированная точка $\xi$ лежит не между узлами, а где-то внутри совокупности узлов и точки наблюдения $x$ (точка $x$ не обязана лежать между узлами).

[DonnyDarko]

Доброго времени суток.
Подскажите пожалуйста какие есть методы оценки погрешности интерполяции вообще, если искомая функция известна. Ищу список методов и где можно посмотреть их.
*Мне поставлена задача написать программу, которая сравнивала бы эффективность нескольких методов интерполяции на примере нескольких стандартных функций*