Ряды

[Leks]

Необходимо найти сумму ряда:
\sum\limits_{n=0}^\infty (3n^2+2) x^{n+2}
думаю надо сначало избавится от (3n^2+2) ,больше не каких мыслей нет

[gris]

...

[ИСН]

Думаете хорошо, но неправильно.
Найдите сумму ряда, где вместо этого $3n^2+2$ стоит 1.
Потом найдите сумму ряда, где вместо него стоит $n$.
Ну и потом - ряда, где вместо него стоит $n(n-1)$.

[Leks]

если (3n^2+2)заменить на еденицу тогда:
\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+2} = x^2+x^3+x^4+ ... + x^{n+2}
вроде как геометрическая прогрессия...

b_1 =x^2, q=x тогда:\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+2} = \frac{x^2}{1-x}
Подобным оброзом нашел:
\sum\limits_{n=0}^\infty (n*x^{n+2}) = \frac{x^2}{1-nx} и
\sum\limits_{n=0}^\infty (n(n-1)*x^{n+2}) = \frac{x^2}{1-n(n-1)x} Надо было по другому искать?

[gris]

Первый ряд правильно. А остальные вовсе не будут геометрическими прогрессиями.
Хотя сами ряды довольно известные.

[Leks]

а как тогда найти сумму последних двух?

[--mS--]

Мне кажется, или суммы там конечные? Или суммы там вообще смысла не имеют - сумма по $n$ от 0 до $n$?

[gris]

А попробуйте чисто формально возвести первый ряд в квадрат и посмотрите, какие там получаются коэффициенты у нескольких первых степеней.

Это всё бесконечные степенные ряды, сходящиеся на интервале $[-1;1)$

Ну до бесконечности, конечно, сумма.

[Leks]

а можно по подробнее?

[gris]

Ну Вы правильно посчитали, что
$\sum\limits_{n=0}^n x^{n+2} = x^2+x^3+x^4+ ... + x^{n+2}+... = \frac{x^2}{1-x}$
А теперь Проделаем такую штуку. Возведём это равенство в квадрат.Только запишем в обратном порядке.
$(\frac{x^2}{1-x})^2= (x^2+x^3+x^4+ ... + x^{n+2}+...)^2= x^4+2x^5+3x^6+ 4x^7+... $
Не похоже на второй ряд?

Кстати. Действительно, что это у Вас за пределы суммирования? Ряды конечные что-ли? Какая же тогда сумма бесконечной прогрессии? Я думаю, что у Вас просто описка.
$\sum\limits_{n=0}^ n x^{n+2} $
а надо $\sum\limits_{n=0}^ \infty x^{n+2} $

[ewert]

Leks писал(а):

Подобным оброзом нашел:
\sum\limits_{n=0}^n (n*x^{n+2}) = \frac{x^2}{1-nx} и
\sum\limits_{n=0}^n (n(n-1)*x^{n+2}) = \frac{x^2}{1-n(n-1)x} Надо было по другому искать?

Вы нашли просто бесподобным образом.

Это не может быть правдой хотя бы потому, что корень знаменателя в правой части при больших эн очень маленький, в то время как ряды слева вполне приличны при всех иксах, меньших единицы.

Здесь стандартный приём -- это дифференцирование геометрической прогрессии: $\sum_{k=0}^{\infty}kx^{k-1}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}x^k\right)',$ $\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)x^{k-2}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}x^k\right)''$ и т.д. Вот от этих печек и танцуйте.