2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ряды
Сообщение23.01.2009, 19:00 
Необходимо найти сумму ряда:
\sum\limits_{n=0}^\infty (3n^2+2) x^{n+2}
думаю надо сначало избавится от (3n^2+2) ,больше не каких мыслей нет

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 19:08 
Аватара пользователя
...

 
 
 
 
Сообщение23.01.2009, 19:08 
Аватара пользователя
Думаете хорошо, но неправильно.
Найдите сумму ряда, где вместо этого $3n^2+2$ стоит 1.
Потом найдите сумму ряда, где вместо него стоит $n$.
Ну и потом - ряда, где вместо него стоит $n(n-1)$.

 
 
 
 
Сообщение25.01.2009, 16:51 
если (3n^2+2)заменить на еденицу тогда:
\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+2} = x^2+x^3+x^4+ ... + x^{n+2}
вроде как геометрическая прогрессия...

b_1 =x^2, q=x тогда:\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+2}  = \frac{x^2}{1-x}
Подобным оброзом нашел:
\sum\limits_{n=0}^\infty  (n*x^{n+2})  = \frac{x^2}{1-nx} и
\sum\limits_{n=0}^\infty  (n(n-1)*x^{n+2})  = \frac{x^2}{1-n(n-1)x} Надо было по другому искать?

 
 
 
 
Сообщение25.01.2009, 18:05 
Аватара пользователя
Первый ряд правильно. А остальные вовсе не будут геометрическими прогрессиями.
Хотя сами ряды довольно известные.

 
 
 
 
Сообщение25.01.2009, 18:13 
а как тогда найти сумму последних двух?

 
 
 
 
Сообщение25.01.2009, 18:23 
Аватара пользователя
Мне кажется, или суммы там конечные? Или суммы там вообще смысла не имеют - сумма по $n$ от 0 до $n$?

 
 
 
 
Сообщение25.01.2009, 18:27 
Аватара пользователя
А попробуйте чисто формально возвести первый ряд в квадрат и посмотрите, какие там получаются коэффициенты у нескольких первых степеней.

Это всё бесконечные степенные ряды, сходящиеся на интервале $[-1;1)$

Ну до бесконечности, конечно, сумма.

 
 
 
 
Сообщение25.01.2009, 18:28 
а можно по подробнее?

 
 
 
 
Сообщение25.01.2009, 18:43 
Аватара пользователя
Ну Вы правильно посчитали, что
$\sum\limits_{n=0}^n x^{n+2} = x^2+x^3+x^4+ ... + x^{n+2}+...  = \frac{x^2}{1-x}$
А теперь Проделаем такую штуку. Возведём это равенство в квадрат.Только запишем в обратном порядке.
$(\frac{x^2}{1-x})^2= (x^2+x^3+x^4+ ... + x^{n+2}+...)^2= x^4+2x^5+3x^6+ 4x^7+... $
Не похоже на второй ряд?

Кстати. Действительно, что это у Вас за пределы суммирования? Ряды конечные что-ли? Какая же тогда сумма бесконечной прогрессии? Я думаю, что у Вас просто описка.
$\sum\limits_{n=0}^ n x^{n+2} $
а надо $\sum\limits_{n=0}^ \infty x^{n+2} $

 
 
 
 
Сообщение25.01.2009, 18:55 
Leks писал(а):
Подобным оброзом нашел:
\sum\limits_{n=0}^n  (n*x^{n+2})  = \frac{x^2}{1-nx} и
\sum\limits_{n=0}^n  (n(n-1)*x^{n+2})  = \frac{x^2}{1-n(n-1)x} Надо было по другому искать?

Вы нашли просто бесподобным образом.

Это не может быть правдой хотя бы потому, что корень знаменателя в правой части при больших эн очень маленький, в то время как ряды слева вполне приличны при всех иксах, меньших единицы.

Здесь стандартный приём -- это дифференцирование геометрической прогрессии: $\sum_{k=0}^{\infty}kx^{k-1}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}x^k\right)',$ $\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)x^{k-2}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}x^k\right)''$ и т.д. Вот от этих печек и танцуйте.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group