p-вариация

[Gortaur]

Скажите, какие "монстры" обладают конечной p-вариацией, и что про них еще интересного известно.

[AD]

Gortaur в сообщении #180745 писал(а):

По-моему, что-то похожее на данную проблему можно найти в функциях, имеющих бесконечную 1-вариацию, но конечную p-вариацию.

Что это такое-то, скажите хоть?

[Gortaur]

Если я не напутал в терминах, это предел при мелкости разбиения стремящийся к 0 суммы:

$$ \sum\limits_k{|f_{k+1}-f_k|^p} $$

Здесь $f_k:=f(x_k)$, $\{x_k\}$ - разбиение отрезка допустим $[0,1]$ а мелкость $\mu=\sup\limits_k{|x_{k+1}-x_k|}$.

У функций класса $C^1[0,1]$ 1-вариация (или просто вариация) конечна.

[Brukvalub]

Gortaur в сообщении #180457 писал(а):

Скажите, какие "монстры" обладают конечной p-вариацией, и что про них еще интересного известно.

Подозреваю, что постоянные функции, но это нужно еще проверять и перепроверять

[AD]

Я слышал, что во всех классах $\mathrm{Lip}_\alpha$ с показателем $0<\alpha<1$ существуют нигде не дифференцируемые функции. Ясно, что они все они будут иметь ограниченную $\alpha^{-1}$-вариацию. То есть при всех $p>1$ в этих Ваших классах есть монстры.

Добавлено спустя 5 минут 21 секунду:

в этой замечательной книжке кто-то из авторов писал(а):

3.27 Пусть $f(x)=\sum\frac{n!}{2^{n!}}\sin\bigl(2^{n!}\pi x)$. Докажите, что

а) $f\in\mathrm{Lip}_\alpha$ при $\alpha<1$

б) функция $f$ не дифференцируема ни в одной точке.

Оцените сверху модуль непрерывности функции $f$

[AD]

Brukvalub в сообщении #180784 писал(а):

Подозреваю, что постоянные функции, но это нужно еще проверять и перепроверять

Тут, наверное, имелся случай $0<p<1$, да?

При $p\leqslant0$ ну совсем уж жутко становится ... есть ли там вообще хоть одна функция? В предположении, что нам удастся определение аккуратно дать - запретить совпадающие точки, а также считать вариацию бесконечной, как только у функции встречаются сколь угодно близкие аргументы с равными значениями.

Тогда я вот пока что додумался только до того, что если $f\in C^1\cap\mathrm{VB}(p)$ при некотором $p\in(0,1)$, то она константа. Действительно, иначе возьмем такие отрезок $[a,b]$ и число $\lambda>0$, что $|f'|>\lambda$ на $[a,b]$, порежем один только этот отрезок на $n$ частей, и по формуле Лагранжа будет $\mathrm{Var}_p\,f\ge n\cdot(\lambda\frac{b-a}n)^p\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty$.

Обозначения понятны? Просто у меня в голове символ $\mathrm{VB}_k$ уже занят.

А вот в общем случае в $\mathrm{VB}(p)$ еще сидят всякие кусочно-постоянные функции.

P.S. Gortaur, отсюда правило: если не хотите, чтобы кафедра теории функций начала заниматься ерундой, считая доказательство существования полным решением поставленной проблемы, нужно задавать вопросы дальше :) Ну в смысле я так понял, что Вас этот случай не интересует, да?

[Gortaur]

Символ $VB(\cdot)$ непонятен. Кроме того, $Lip_{\alpha}$ насколько я понял, пространство Гёльдера? Т.е.

$$ |\Delta f| \leq A |\Delta x|^{\alpha} $$

Цитата:

Ясно, что они все они будут иметь ограниченную $\alpha^{-1}$ вариацию.

Не ясно

Кстати, вернусь к любимым траекториям сл. процессов - пусть того же Броуновского. Траектория то уже не сл. процесс. Она напрерына, т.е. ее можно записать в виде ряда Фурье?

[AD]

Gortaur в сообщении #181310 писал(а):

Она напрерына, т.е. ее можно записать в виде ряда Фурье?

Можно. По теореме Карлесона, он будет сходиться почти всюду.

Добавлено спустя 3 минуты 58 секунд:

Gortaur в сообщении #181310 писал(а):

Символ $VB(\cdot)$ непонятен.

Пространство функций ограниченной $\cdot$-вариации. (что оно есть пространство - вроде бы очевидно, да?)

Gortaur в сообщении #181310 писал(а):

Т.е.

$$ |\Delta f| \leq A |\Delta x|^{\alpha} $$

Да-да.

Gortaur в сообщении #181310 писал(а):

Не ясно

Ну

$$\alpha=\tfrac1p\Rightarrow\sum_{k=1}^n\bigl|f(x_k)-f(x_{k-1})\bigr|^p\le\sum_{k=1}^n\bigl(A(x_k-x_{k-1})^\alpha\bigr)^p= A^p(b-a)<\infty$$

.
Так, то есть я имел в виду, что функция задана на отрезке $[a,b]$. На прямой, конечно же, это неверно.

[Gortaur]

Очевидно, что если $f\in Lip_{\alpha}$, что для любого $\alpha'<\alpha$ следует:$f\in Lip_{\alpha'}$ - если рассматривать отрезок [0,1]. (или сказать, что колебания аргумента малы).

То есть можно определить какую-нибудь $\alpha(f) = \sup\limits_{\alpha'}{f\in Lip_{\alpha'}}$.

Далее, можно показать, что $\forall \alpha' < \alpha(f)$ получим:

$$ Var_p f=0 $$

где $p=\frac{1}{\alpha'}$.

Таким образом (сходно с мерой Хаусдорфа) у каждой функции существует одна конечная и возможно даже ненулевая вариация Я имел ввиду гёльдеровы функции.

Кусочно гладкие не интересуют. Интересует обратная зависимость. Как связана конечная ненулевая $p$-вариация функции и ее гельдеровость?

P.S. есть ли шансы посчитать коэф-ты ряда фурье для траекторий сл. процессов?

[AD]

Gortaur в сообщении #181326 писал(а):

Далее, можно показать, что $\forall \alpha' < \alpha(f)$ получим:

$$ Var_p f=0 $$

где $p=\frac{1}{\alpha'}$.

Не правдоподобно. Вариация никак не может быть равна нулю у функции, отличной от константы, просто потому, что она есть супремум, и потому никак не меньше никакого одного приращения.

Gortaur в сообщении #181326 писал(а):

P.S. есть ли шансы посчитать коэф-ты ряда фурье для траекторий сл. процессов?

Представления не имею. Ну то есть в "СлуП'ах" не разбираюсь. Только надо как-то поаккуратнее задачу поставить. Скажем, так: "найти распределение случайных величин $a_k(f)$ и $b_k(f)$".

Правда, еще одна мелочь. Чтобы были коэффициенты Фурье, процесс должен быть в каком-нибудь смысле периодическим. Иначе не интересно получается. А то интеграл Фурье еще противнее считать.

[Gortaur]

Я имел ввиду не случайные величины, а именно коэф-ты какой-либо конкретной траектории - вроде того примера про ряд с синусами и факториалами, который Вы в данной теме привели.

Словом, исходя из того факта, что 2-вариация броуновского движения конечна, хотелось бы выявить какие-либо факты о поведении его приращений.

[AD]

Gortaur в сообщении #181413 писал(а):

Я имел ввиду не случайные величины, а именно коэф-ты какой-либо конкретной траектории - вроде того примера про ряд с синусами и факториалами, который Вы в данной теме привели.

Ну коэффициенты этого конкретного ряда Вы, думаю, без труда вычислите. Коэффициенты любой конкретной реализации тоже посчитать можно. При помощи формул Фурье. Интеграл понимается по Риману. Так что не понял Ваш вопрос.

Gortaur в сообщении #181413 писал(а):

2-вариация броуновского движения конечна

Ух ты. Серьёзно? Ну ладно, тогда сдаюсь, Вы умнее меня.

Добавлено спустя 38 минут 46 секунд:

AD писал(а):

Gortaur в сообщении #181326 писал(а):

Далее, можно показать, что $\forall \alpha' < \alpha(f)$ получим:

$$ Var_p f=0 $$

где $p=\frac{1}{\alpha'}$.

Не правдоподобно. Вариация никак не может быть равна нулю у функции, отличной от константы, просто потому, что она есть супремум, и потому никак не меньше никакого одного приращения.

А! Дошло, что Вы имеете ввиду. Сумма, определяющая $p$-вариацию, при $p>1$ может уменьшаться при размельчении разбиения!, а Вы написали, что это предел, а не супремум. Да, согласен, может быть нулём. Тогда еще подумаю.

[Gortaur]

Инетересно, происходит ли это прии произвольном стремлении к нулю? то есть для начала:
$\sum\limits_{T_n}{(x_{i+1}-x_i)}=L$ - постоянна. Как себя поведет $\sum\limits_{T_n}{(x_{i+1}-x_i)^a}$, при $\mu(T_n)=\max\limits_{T_n}(x_{i+1}-x_i)$ стремящемся к $0$.