Максимин и минимакс

[ZheniaM]

Уважаемые коллеги, необходима помощь в следующем вопросе:

Имеются две функции $f(x), g(y)\in\mathcal{F}$, где $\mathcal{F}=\left\{f(\cdot): f(x)\geq0,\forall x\in\mathds{R}^1,f(\cdot)\in\mathds{L}_1[R^1]\right\}$, которые ещё и ограничены
$\sup\limits_{x\in\mathds{R^1}}f(x)=F,\sup\limits_{y\in\mathds{R^1}}g(y)=G$.

Справедливо ли следующее утверждение?
$\sup\limits_{x,y\in\mathds{R^1}}\min\left\{f(x),g(y)\right\}=\min\left\{F,G\right\}$.

Может быть посоветуете литературу, где изложены похожие вопросы.

[Brukvalub]

ZheniaM в сообщении #180304 писал(а):

Справедливо ли следующее утверждение?
$\sup\limits_{x,y\in\mathds{R^1}}\min\left\{f(x),g(y)\right\}=\min\left\{F,G\right\}$

Нет. Справедливо только неравенство $\mathop {\sup }\limits_{x,y} \min \left\{ {f(x)\;,\;g(y)} \right\} \le \min \left\{ {F,G} \right\}$, и тривиально строится пример, когда левая часть будет строго меньше правой.

[ZheniaM]

А можете примерно набросать набросок такого примера? Хотя бы идейку

[Brukvalub]

Взять два непересекающихся отрезка, на одном назначить f равной 1, а в остальных точках - нулем, на другом - g=1, а в остальных точках - нулем.

[ZheniaM]

Ну да, точно. Спасибо!