Множество, которое содержит себя в качестве своего элемента

[ellipse]

Разбираюсь с парадоксом Рассела и ни как не могу придумать множество, которое содержит себя в качестве своего элемента. Такие существуют?

[Sonic86]

Множество бесконечных множеств.
Множество всех множеств мощности больше некоторой конечной.
Это классические примеры.
Там еще что-то было.

[MaximKat]

а в рамках ZFC?

[Someone]

А в ZFC имеется аксиома регулярности, из которой следует, что таких множеств нет. Впрочем, в книге Куратовского и Мостовского "Теория множеств" излагается вариант ZFC без аксиомы регулярности. Но, надо сказать, что в тех случаях, когда такие множества ("нерегулярные") становятся существенными, основные усилия авторов направлены не на построение этих множеств, а на то, чтобы их обойти.

[мат-ламер]

Такие множества, чтобы избежать парадоксов, лучше обозвать классами. Например, класс всех множеств.

[gris]

мат-ламер, а как быть тогда с множеством всех классов?

[AD]

gris в сообщении #183444 писал(а):

а как быть тогда с множеством всех классов?

А что множество всех классов? Оно себя не содержит

[gris]

AD писал(а):

А что множество всех классов? Оно себя не содержит

А класс всех классов?
Впрочем, не буду больше всуе теребить аксиоматику. Почитаю-ка лучше её на досуге.

[Someone]

мат-ламер в сообщении #183438 писал(а):

Такие множества, чтобы избежать парадоксов, лучше обозвать классами. Например, класс всех множеств.

Нет. Различие между множествами и классами в другом месте. Кроме того, парадоксы связаны не с самим по себе нарушением аксиомы регулярности, а скорее с "существованием" "слишком больших" множеств. Если нельзя построить противоречие с привлечением аксиомы регулярности, то без неё тем более не получится. Ведь отсутствие аксиомы в списке аксиом не означает автоматически, что она нарушается.

gris в сообщении #183444 писал(а):

а как быть тогда с множеством всех классов?

В аксиоматической теории множеств GB основным объектом является класс. А множество определяется как класс, который является элементом какого-нибудь класса: $Set(x)\equiv\exists y(x\in y)$. Поэтому нет никакого множества всех классов или класса всех классов.

[epros]

ellipse писал(а):

Разбираюсь с парадоксом Рассела и ни как не могу придумать множество, которое содержит себя в качестве своего элемента. Такие существуют?

Хочу попутно заметить, что если не заморачиваться бесконечными множествами, то парадокс Рассела является формой изложения старого доброго парадокса библиотеки:

В некой библиотеке имеются книги. Некоторые из книг содержат ссылки на книги библиотеки. Назовём книгу "ординарной", если она не содержит ссылку на саму себя. Вопрос: является ли книга - каталог всех ординарных книг библиотеки ординарной книгой?

"Парадокс" заключается в том, что на этот вопрос нельзя однозначно ответить ни "да", ни "нет". А правильный ответ таков: "Каталога всех ординарных книг библиотеки в библиотеке быть не может". Остаётся только заменить слова: книгу - на множество, содержит ссылку - на содержит в качестве элемента, библиотеку - на класс (совокупность) всех множеств. Ну и, конечно, вообразить, что множества (в отличие от книг) могут быть бесконечными.

[мат-ламер]

В сети выложена книга Верещагина - Шеня по теории множеств. Но ничего там не нашёл ни насчёт классов, ни насчёт парадоксов.

Добавлено спустя 2 часа 54 минуты 54 секунды:

Однако есть книга Ященко
[url=zaochn.mccme.ru/materials/book.20.pdf]zaochn.mccme.ru/materials/book.20.pdf[/url]

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

А что я сделал не так? Вроде тегом URL пользовался.

[maxal]

мат-ламер
забыли протокол в ссылке указать - http:, ftp:, https: ...

[мат-ламер]

Спасибо! Ященко И.В. Парадоксы теории множеств. М. 2002.
http://zaochn.mccme.ru/materials/book.20.pdf