Измеримость веткор-функции и измеримость ее компонент

[gron]

(Мат. Стат.) Читаю доказательство существования у.м.о. для векторных случайных величин (в книге Боровкова) - там сначала доказыватеся существование у.м.о. для скалярных случайных величин, затем говорится что в силу того что для компонент вектора такие у.м.о. существуют, у.м.о. существует и для всего конечномерного вектора.

При этом лектор нам сообщил что в бесконечномерном случае из существования у.м.о. для компонент не следует существование у.м.о. для всего вектора, т.к. из измеримости относительно некоторой $\sigma$-алгебры компонент вектора не следует измеримость всего вектора.

Я вот этот переход не совсем понял. Не могли бы вы, уважаемые коллеги, привести контрпример когда компоненты измеримы, а весь вектор нет (или просто разъяснить, что там происходит и почему для бесконечномерных случайных векторов такое рассуждение не верно).

Благодарю!
С уважением, Алексей

[ewert]

А что есть вообще по определению УМО для всего вектора?

[gron]

Да у нас какой-то глобальный косяк. по определению, у.м.о. случайной величины относительно сигма-подалгебры алгебры случайных событий - это сл. величина с 2 свойствами:
а) она измерима относительно сигма-подалгебры
б) матожидание у.м.о. по любому множеству алгебры событий равно матожиданию исходной с.в. по этому множеству (под "матожидание по множеству" понимается матожидание величины, помноженной на индикатор множества).

При этом (внимание) под измеримостью вектора подразумевается измеримость компонент! Лектор сам себе противоречит, давая такое определение и потом зачем-то - вышеизложенное замечание.

С уважением, Алексей

[ewert]

да, но как ни крути, а придётся задействовать измеримость множеств значений вектора. Если вектор конечномерен, то она более-менее сводится к одномерной измеримости. А вот что есть измеримость в бесконечномерном пространстве? В принципе? Т.е. практически: что есть мера в функциональном пространстве? Это вовсе не тривиальный вопрос. И общей теории на этот счёт мне как-то на глаза не попадалось.

[gron]

Кажется понял... Тут принципиально непонятный для меня был аспект заключающийся в том, что и случайный вектор и его компоненты рассматриваются как функции на одном и том же пространстве элементарных событий.

Тогда нельзя ли подобрать функции $\varphi_i$ такие, что при обратном отображении они некоторое борелевское множество из B(\mathbb R^\infty) создадут последовательность множеств в нашей сигма-подалгебре, бесконечное пересечение которых уже не будет лежать в сигма-подалгебре? Тогда весь вектор был бы неизмеримым.

Не пройдет так?