Сумма синусов

[AndreyXYZ]

Можно ли выражение $q_1\sin \varphi_1+q_2\sin \varphi_2$, где $q_1,q_2\in \mathbb{Q}$ привести к какой-либо тригонометрической функции?

[ИСН]

1) Это уже тригонометрическая функция, разве нет?
2) От чего?
(да, я намекаю, что не худо бы переосмыслить вопрос...)

[Йа Гринько]

AndreyXYZ в сообщении #179805 писал(а):

Можно ли выражение $q_1\sin \varphi_1+q_2\sin \varphi_2$, где $q_1,q_2\in \mathbb{Q}$ привести к какой-либо тригонометрической функции?

Можно...Выражение
$q_1\sin(\omega_1t)+q_2\sin(\omega_2 t) = A\sin(\omega t + \delta)$, где $A, \delta$ можно найти раскрыв синус суммы и далее преобразовать как-то и решить уравнение относительно них.

[bot]

Йа Гринько в сообщении #179862 писал(а):

Можно...

А откуда Вы знаете, что AndreyXYZ это спрашивал?
Вот я вижу, что ИСН тоже не понимает вопроса.

[Йа Гринько]

bot в сообщении #179863 писал(а):

А откуда Вы знаете, что AndreyXYZ это спрашивал?
Вот я вижу, что ИСН тоже не понимает вопроса.

Это, с моей точки зрения, самое очевидное. Можно конечно написать что-то про комплексную экспоненту! Вот только надо ли?

[gris]

Обозначим $q=\max(|q_1|,|q_2|)$
$A= \frac {q_1\sin \varphi_1+q_2\sin \varphi_2} {2q}$
$|A| \leq 1\,\,\, \Rightarrow \exists B= \arcsin A$

$q_1\sin \varphi_1+q_2\sin \varphi_2= 2q \sin B$

Или надо без арксинуса?

а не предполагался ли изначально вопрос типа доказать, что
$y= \sin x + \sin \sqrt {2} x$ не является периодической функцией?

[AndreyXYZ]

ИСН в сообщении #179826 писал(а):

1) Это уже тригонометрическая функция, разве нет?
2) От чего?
(да, я намекаю, что не худо бы переосмыслить вопрос...)

Согласен, что некорректно поставил вопрос. На самом деле мне хотелось доказать совсем другое.
1) Найти такое $\varphi \in \mathbb{Q}$, что $\sin\varphi \in \mathbb{I}$.
2) Если найдены $\varphi_1$ и $\varphi_2$, удовлетворяющие условию задачи 1, то доказать, что $\sin\varphi_1+\sin\varphi_2\in \mathbb{I}$.

Я пытался доказывать следующим образом. В 1-й задаче раскладываю $\sin$ в ряд Тейлора. Т.к. ряд бесконечен, то его сумму нельзя привести к одному знаменателю (знаю, что не очень строго).
А 2-ю задачу пытался решить сведением суммы синусов к одному, чтобы опять же разложить в ряд.

[Йа Гринько]

AndreyXYZ в сообщении #179882 писал(а):

Т.к. ряд бесконечен, то его сумму нельзя привести к одному знаменателю (знаю, что не очень строго)

Причем тут факт о том что сумма этого ряда иррациональна?

Цитата:

Согласен, что некорректно поставил вопрос. На самом деле мне хотелось доказать совсем другое.

[ИСН]

Ну, $\sin 1$ иррационален, $\sin(-1)$ - тоже, а их сумма...
А то, что Вы на самом деле хотите, наверняка сводится к теореме Линдемана.