2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма иррациональных чисел
Сообщение20.01.2009, 23:04 
Аватара пользователя
Верно ли, что
$$\forall k \in \mathbb{N}~ \forall p_1,p_2,\ldots,p_k \in \mathbb{I}=\mathbb{R}/\mathbb{Q}$$, таких что $p_i>0,~i=\overline{1,k}$,
выполняется $$\sum_{i=1}^{k}p_i \in \mathbb{I}$$?

Или, другими словами, всегда ли сумма положительных иррациональных чисел --- иррациональное число?

 
 
 
 
Сообщение20.01.2009, 23:06 
Аватара пользователя
$p_1=\sqrt{2}$, $p_2=2-\sqrt{2}$

 
 
 
 
Сообщение20.01.2009, 23:14 
Аватара пользователя
Сам понял, что сморозил глупость.
Рассмотрим частный случай.
Пусть $n_1,n_2,\ldots,n_k \in \mathbb{N}$. Верно ли, что $$\sum_{i=1}^{k}\sqrt{n_i}\in \mathbb{I}$$?

 
 
 
 
Сообщение20.01.2009, 23:40 
$k = 1, n_1 = 1$.

Если хотя бы одно число $n_i$ не является точным квадратом, то верно.

 
 
 
 
Сообщение20.01.2009, 23:42 
AndreyXYZ писал(а):
Сам понял, что сморозил глупость.
Рассмотрим частный случай.
Пусть $n_1,n_2,\ldots,n_k \in \mathbb{N}$. Верно ли, что $$\sum_{i=1}^{k}\sqrt{n_i}\in \mathbb{I}$$?


Если среди них есть неквадраты - верно.

Более того, если брать числа, свободные от квадратов, то корни из них будут линейно независимы над $\mathbb{Q}$ (то есть коэффициенты можно будет писать любые иррациональные, не обязательно единицы).

Влад.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 09:38 
Аватара пользователя
vlad239 писал(а):
Более того, если брать числа, свободные от квадратов, то корни из них будут линейно независимы над $\mathbb{Q}$

Как это доказать или где найти доказательство? Вроде как очевидно, но доказать не могу (

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 10:07 
Аватара пользователя
Доказать от противного.
Вначале доказать, что корень из целого числа, не являющегося квадратом, будет иррациональным числом.
Потом линейную комбинацию возводим в квадрат. Надо только показать, что в результате не исчезнут все корни. Это вот как раз при условии "свободные от квадратов". И так повторять, пока не останется всего один корень.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 11:08 
Аватара пользователя
gris в сообщении #179874 писал(а):
Потом линейную комбинацию возводим в квадрат. Надо только показать, что в результате не исчезнут все корни.


А зачем её возводить в квадрат? Если даже исчезнут, это не будет означать, что она была рациональным числом.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 11:11 
Аватара пользователя
gris писал(а):
Потом линейную комбинацию возводим в квадрат. Надо только показать, что в результате не исчезнут все корни. Это вот как раз при условии "свободные от квадратов". И так повторять, пока не останется всего один корень.

Чесно говоря, вот это не понял. Каким образом останется один корень?
Сколько я $a_1\sqrt2+a_2\sqrt3+a_3\sqrt5$ в квадрат не возводил всё равно три корня остаются.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 11:29 
Аватара пользователя
Прошу прощения. Не саму линейную комбинацию, а её равенство нулю, конечно. Тогда корни по одному переносятся в левую часть и после очередного возведения в квадрат исчезают.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 11:31 
Аватара пользователя
gris в сообщении #179894 писал(а):
Тогда корни по одному переносятся в левую часть и после очередного возведения в квадрат исчезают.


Но если в другой части количество корней больше трех, то при возведении в квадрат их число увеличится.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 11:39 
Аватара пользователя
Допустим существуют ненулевые рациональные коэффициеты $a_1 a_2 a_3$, что
$a_1\sqrt2+a_2\sqrt3+a_3\sqrt5=0$
$(a_1\sqrt2)^2=(a_2\sqrt3+a_3\sqrt5)^2$
$2a_1^2= 3a_2^2+5a_3^2+2a_2a_3\sqrt 6$
то есть $\sqrt6$ равняется рациональному числу.

Да, когда корней больше трёх, то они активно размножаются. Увы.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 11:40 
Аватара пользователя
gris писал(а):
Допустим существуют ненулевые рациональные коэффициеты $a_1 a_2 a_3, что
$a_1\sqrt2+a_2\sqrt3+a_3\sqrt5=0$
$(a_1\sqrt2)^2=(a_2\sqrt3+a_3\sqrt5)^2$
$2a_1^2= 3a_2^2+5a_3^2+2a_2a_3\sqrt 6$
то есть $\sqrt6$ равняется рациональному числу.

А если корней побольше?

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 14:28 
vlad239
vlad239 в сообщении #179814 писал(а):
Более того, если брать числа, свободные от квадратов, то корни из них будут линейно независимы над (то есть коэффициенты можно будет писать любые иррациональные, не обязательно единицы).

"любые рациональные"?

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 15:40 
Аватара пользователя
Посмотрите один из первых выпусков Кванта- там есть целая статья об этой задаче.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group