Обобщение двойного факториала

[kvanttt]

Есть всем известная и полезная гамма функция, которая является "обобщенным" факториалам для любого(в т.ч. комплексного, но не отрицателного) числа: $\Gamma (a + 1) = a! $. Вопрос: существует ли функция, которая обобщает понятие двойного факториала (http://ru.wikipedia.org/wiki/Факториал) и может она оказаться столь же полезной, как и гамма функция?

Если такая непрерывная функция существует, то получится, что для нее выполняется свойство: $\psi (a + 2) = a\psi(a) $ (для гаммы функции $\Gamma (a + 1) = a\Gamma (a) $)

[AD]

Когда-то на втором курсе на матане нам подкидывали задачку, что гамма-функция однозначно определяется некоторым списком аксиом (ну что она гладкая, и несколько тождеств - формула дополнения, еще какие-то, не помню уже). Можете что-то похожее устроить.

[Yarkin]

AD писал(а):

Когда-то на втором курсе на матане нам подкидывали задачку, что гамма-функция однозначно определяется некоторым списком аксиом (ну что она гладкая, и несколько тождеств - формула дополнения, еще какие-то, не помню уже). Можете что-то похожее устроить.

Никакого списка аксиом нет, а есть свойства и самое важное из них -то, что эта функция не удовлетворяет никакому д.у.

Добавлено спустя 11 минут 46 секунд:

Re: Обобщение двойного факториала

kvanttt писал(а):

Есть всем известная и полезная гамма функция, которая является "обобщенным" факториалам для любого(в т.ч. комплексного, но не отрицателного) числа: $\Gamma (a + 1) = a! $.

Эта формула только для целого $a>0$, а для любого $a$ работает вторая формула.

[Nilenbert]

Цитата:

Никакого списка аксиом нет, а есть свойства и самое важное из них -то, что эта функция не удовлетворяет никакому д.у

$\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=-\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{x+k-1} \right)$

[Cave]

Гамма-функция - единственная логарифмически выпуклая функция, определённая на $(0;+\infty)$, удовлетворяющая свойствам $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ при $x>0$ и $\Gamma(1) = 1$.

[ewert]

kvanttt в сообщении #179242 писал(а):

Есть всем известная и полезная гамма функция, которая является "обобщенным" факториалам для любого(в т.ч. комплексного, но не отрицателного) числа:

Почему "не отрицательного"? Запрещены только целочисленные отрицательные точки.

А насчёт обобщений -- зачем, коли гамма-функция уже есть:

$$(2n)!!=2^nn!=2^n\Gamma(n+1);$$

$$(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={\Gamma(2n+1)\over2^n\Gamma(n+1)}.$$

Ну или если угодно:

$$(2n+1)!!={2^{n+1}\over\sqrt{\pi}}\,\Gamma\left({2n+3\over2}\right).$$

[kvanttt]

ewert писал(а):

kvanttt в сообщении #179242 писал(а):

Есть всем известная и полезная гамма функция, которая является "обобщенным" факториалам для любого(в т.ч. комплексного, но не отрицателного) числа:

Почему "не отрицательного"? Запрещены только целочисленные отрицательные точки.

Да, это я некорректно написал.

ewert писал(а):

А насчёт обобщений -- зачем, коли гамма-функция уже есть:

$$(2n)!!=2^nn!=2^n\Gamma(n+1);$$

$$(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={\Gamma(2n+1)\over2^n\Gamma(n+1)}.$$

$$(2n+1)!!={2^{n+1}\over\sqrt{\pi}}\,\Gamma\left({2n+3\over2}\right).$$

Да, верно. Для четных и нечетных x будет
$ {x 2 ^ {x \over 2} \Gamma({x \over 2}) \over {\sqrt{2 \pi}}} {{(\sqrt{\pi \over 2} +1) + (\sqrt{\pi \over 2} -1)(-1)^x} \over 2 $

Но для любых иррациональных чисел значение такой функции будет лежать в комплексной плоскости, так как:
$ {(-1)^x = e ^ {x ln(-1)} = cos(x \pi) + i sin(x \pi) $
А двойной фаториал также как и обычный факториал от любых иррациональных чисел > 0, как и обычный факториал, не должен лежать в комплексной плоскости

К тому же эта функция выражается через гамму функцию. Нельзя ли найти такую непрерывную функцию, через которую выражается двойной факториал для любых чисел(не только для целых), в виде несобственного интеграла?

Если такая задача будет решена, то можно наверно вообще будет найти функцию для n-ных факториалов

[Усулгурт]

А почему нужно склоняться к двойному факториалу, а не начать сразу с дестярного?

[arqady]

Усулгурт писал(а):

А почему нужно склоняться к двойному факториалу, а не начать сразу с дестярного?

Потому что "дестярной" используется гораздо реже.

[ewert]

kvanttt в сообщении #180264 писал(а):

Нельзя ли найти такую непрерывную функцию, через которую выражается двойной факториал для любых чисел(не только для целых), в виде несобственного интеграла?

Можно. Сия функция называется гаммой.

[Усулгурт]

arqady писал(а):

Усулгурт писал(а):

А почему нужно склоняться к двойному факториалу, а не начать сразу с дестярного?

Потому что "дестярной" используется гораздо реже.

Может тогда уж сразу обратиться к часто используемым функциям?

[maxal]

kvanttt в сообщении #180264 писал(а):

Да, верно. Для четных и нечетных x будет
$ {x 2 ^ {x \over 2} \Gamma({x \over 2}) \over {\sqrt{2 \pi}}} {{(\sqrt{\pi \over 2} +1) + (\sqrt{\pi \over 2} -1)(-1)^x} \over 2 $

Но для любых иррациональных чисел значение такой функции будет лежать в комплексной плоскости, так как:
$ {(-1)^x = e ^ {x ln(-1)} = cos(x \pi) + i sin(x \pi) $
А двойной фаториал также как и обычный факториал от любых иррациональных чисел > 0, как и обычный факториал, не должен лежать в комплексной плоскости

Если уж комбинировать выражения для двойного факториала целых чисел таким образом, то можно взять любую функцию с периодом 2. Вы взяли ее равной $(-1)^x$, которая выносит вас в комплексную плоскость при нецелых $x$. Но возмите, например, действительную функцию, $\cos(\pi x)$ - она (как впрочем и любая другая подобная функция) даст непрерывную функцию, совпадающую с двойным факториалом в целых точках.