Проверьте, пожалуйста (вычисление производной)

[barbar]

Проверьте, пожалуйста, решение.

Имеется

$$ \tg y = \frac {\ k} {\ x}$$

.

Ищем производную:

$$ \tg (y + \Delta y) = \frac {\ k} {\ x + \Delta x}$$

, итд.

В результате получаем

$$\frac {\tg \Delta y} {\Delta x} = - \frac {\ k} {\ x^2}$$

, т.е.

$$\Delta y = - \arctg} \frac {\ k \Delta x} {\ x^2}\text{.}\eqno{(1)}$$

Пожалуйста, является-ли результат

$$\text{(1)}$$

правильным?

Заранее благодарен.

[ewert]

очевидно нет, и это должно инстинктивно улавливаться.

$\tg(y+\Delta y)$ очевидным образом никак непосредственным образом не связан с $\tg(\Delta y)$.

[gris]

а что требовалось найти? $y$ это неявно заданная функция? И надо найти её производную по х? Сдаётся мне, что нет...
Если да, то надо тангенс сумммы разложить.

[daogiauvang]

barbar писал(а):

Проверьте, пожалуйста, решение.

Имеется

$$ \tg y = \frac {\ k} {\ x}$$

.

Ищем производную:

$$ \tg (y + \Delta y) = \frac {\ k} {\ x + \Delta x}$$

, итд.

В результате получаем

$$\frac {\tg \Delta y} {\Delta x} = - \frac {\ k} {\ x^2}$$

, т.е.

$$\Delta y = - \arctg} \frac {\ k \Delta x} {\ x^2}\text{.}\eqno{(1)}$$

Пожалуйста, является-ли результат

$$\text{(1)}$$

правильным?

Заранее благодарен.

т.е
$ y' (1+ \tg^2 y) =-\frac{k}{x^2}$ cлеует $ y'=-\frac{k}{x^2} .\frac{1}{1+\tg^2 y}=-\frac{k}{x^2}. \frac{x^2}{k^2+x^2}=\frac{-1}{x^2+k^2}$

[gris]

Только $\frac{-k}{x^2+k^2}$

И с $\Delta$ то же самое получается, если аккуратно посчитать и учесть, что $\tg \Delta y \sim \Delta y$

[barbar]

Большое спасибо всем за ответы. Да, я искал производную

$$ y$$

по

$$ x$$

.

Т.е., в с оотвествии с подсказкой, исходить надо из того, что

$$ \tg (y + \Delta y) = \frac {\tg x + \tg \Delta x} {\ 1 - \tg x \tg \Delta x}$$

и преобразовывать далее.

Пожалуйста, правильно-ли я понял, что подсказанный результат

$$\frac{-k}{x^2+k^2} = \lim\frac {\tg \Delta y} {\Delta x}$$

С уважением
barbar

[gris]

$$y_x=\lim\frac { \Delta y} {\Delta x}=\lim\frac {\tg \Delta y} {\Delta x}=\frac{-k}{x^2+k^2} $$

И в формуле тангенса суммы там в правой части не $x$, а $y$

[barbar]

gris писал(а):

И в формуле тангенса суммы там в правой части не $x$, а $y$

Вы правы, именно это я и имел ввиду.

Как-то не укладывается в голове, почему между $\lim\frac { \Delta y} {\Delta x}$ и $\lim\frac {\tg \Delta y} {\Delta x}$ стоит знак равенства. Ведь, если $\frac{-k}{x^2+k^2} $ решить относительно числителя левой части, то в обоих случаях получится разный результат. Насколько я понимаю, отношение $\frac{-k}{x^2+k^2} $ выражает зависимость не $\Delta y$, но $\tg\Delta y$ от $\Delta x$. В чем я ошибаюсь?

[gris]

Потому, что при $t \to 0$ $\tg t \sim t$ как бесконечно малые функции.

А где там получается разный результат? Мы продифференцировали функцию по определению, можно, как выше, как неявную, можно через обратную. Или явно выразить её через арктангенс. И всегда получается одно и тоже.
Обратите внимание, что функция многозначная. То есть это как бы много функций, которые отличаются на константу. От того и производная зависит только от $x$, какую бы ветвь мы ни рассматривали.

Добавлено спустя 6 минут 32 секунды:

$\lim\frac { \Delta y} {\Delta x}=\lim\frac {\tg \Delta y \cdot \Delta y} {\tg \Delta y \cdot \Delta x}=\lim\frac { \Delta y} {\tg \Delta y }\cdot \lim\frac {\tg \Delta y} {\Delta x} =\lim\frac {\tg \Delta y} {\Delta x}$
Ну разумеется, при условии, что каждая ветnвь представляет непрерывную функцию. Т.е. $\Delta y \to 0$ при $\Delta x \to 0$
Просто для данного уравнения можно сконструировать хоть везде разрывную функцию, которая ему будет поточечно удовлетворять. Но тогда какой смысл говорить о производных?
Тем более, что есть замечательное семейство непрерывных (доопределённых в нуле) решений. Для каждой из таких функций моё доказательство будет корректно. Даже в нуле. Где производная существует, хотя формула теряет смысл.

[barbar]

Уважаемый gris,

я в математике полный дилетант, поэтому я ни в коем случае не мог как-либо сомневаться в Вашем доказательстве. Это исключено. Я могу единственно внимательно слушать Вас и благодарить за драгоценный час, который Вы со мной тратите.

Спасибо за подробное объяснение почему между $\lim\frac { \Delta y} {\Delta x}$ и $\lim\frac {\tg \Delta y} {\Delta x}$ стоит знак равенства. Математически я бы до этого самостоятельно, конечно же, не додумался.

Говоря о разном результате, я по-незнанию не выразился точно. Дело в том, что мне проще понять суть математических явлений, представив себе их физический смысл. Лимит отношения приращений я представил себе, как отношение двух катетов треугольника. В таком случае указанное отношение выражает изменение угла вследствие изменения длинны катета (второй катет является константой). И у меня получилось, что

$$\tg \Delta y=\frac{-k\Delta x}{x^2+k^2} $$

.

Здесь мне был понятен и физический смысл, и его числовое выражение. А вот с этим

$$\Delta y=\frac{-k\Delta x}{x^2+k^2} $$

возникла нерешаемая для меня проблема. Буду стараться далее в этой проблемой разбираться.

Позвольте мне еще раз поблагодарить Вас за бескорыстную помощь.

С почтением
barbar

[gris]

О наилюбезнейший barbar!
Окрылённый Вашей похвалой, я решил потратить ещё пять минут своего всё равно бестолку пропадающего времени и повернуться от ужасных всюду разрывных функций к простому физическому смыслу.

Я вот так себе представляю задачу. Пусть есть столб высотой $k$ и я, точка, двигающаяся от этого столба равномерно и прямолинейно со скоростью 1 по закону $s=x$, где s - расстояние от столба, а $x$ - время.
Через $y$ я обозначу угол в радианах, под которым я обозреваю столб. Очевидно, что $x>0$, а $\frac {\pi} {2} > y >0$.

И $\tg y = \frac k x$

И $\frac {\Delta y} {\Delta x}$ имеет даже очень естественный физический смысл средней скорости изменения угла обзора столба за некоторое время.

И тогда выражение $- \frac {k} {x^2 + k^2}$ будет выражать мгновенную скорость изменения угла обзора вышеупомянутого столба.

$\frac {\Delta \tg y} {\Delta x}$ также имеет физический смысл средней скорости изменения тангенса угла обзора столба за некоторое время. Мгновенная скорость будет равна $- \frac {k} {x^2}$.

А вот для выражения $\frac {\tg \Delta y} {\Delta x}$ я что-то не подберу простого физического смысла, хотя выражение считается просто и без всякого дифференцирования. В пределе оно равно мгновенной скорости изменения угла. В этом его практический смысл.


Я, как обычно, начал отвечать, не вчитавшись в Ваш текст.
У вас же всё написано. Только это у меня смысл физический, а у Вас геометрический.