многочлен Чебышева-Лагерра

[Nerazumovskiy]

Доказать что все корни многочлена Чебышева действительны (испольуя только производные,без интегралов).

$P(x)=e^x\frac{d}{dx^n}(x^ne^{-x})^n$

[ewert]

Какой же это Чебышёв, когда это просто Лагерр?

Вообще-то доказывоть полноту корней ортогональнах многочленов без ссылки на их ортогональность (т.е. на интегралы) -- это откровенное издевательство. Над математикой.

Но раз уж приспичило... То всё сводится к теореме Ролля. О том, что между корнями функции лежит не менее одного корня производной.

Ну и с учётом того, конечно, что вплоть до последнего дифференцирования точки ноль и бесконечность тоже остаются корнями.

[V.V.]

ewert, например, в Тихонове, Самарском многочлены Лагерра называются многочленами Чебышёва-Лагерра.

[ewert]

и совершенно напрасно. Нефиг сбивать народ с толку. "Многочлены Лагерра" -- абсолютно устойчивое словосочетание, и "многочлены Чебышёва" -- тоже.

[Nerazumovskiy]

Я вот с трудом понимаю,как этот многочлен выглядит. Надо для каждой $n$ отдельно брать $n$ - тый дифференциал и то что получится и будет искомый многочлен?

[ewert]

И не надо представлять. Чётко сказано, что он определяется энной производной (а не дифференциалом, между прочим! меня это словечко уж просто достало) -- а больше ничего и не нужно.

Ну и уж внешний экспоненциальный множитель(который потом сократит внутреннюю экспоненту) -- к корням, естественно, никакого отношения не имеет.

[AD]

Nerazumovskiy писал(а):

$P(x)=e^x\frac{d}{dx^n}(x^ne^{-x})^n$

Может быть, имеется ввиду вот так?:
$P(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})$

[Nerazumovskiy]

та как доказывать я понял сразу после подсказки. Спс