Задачки

[Antonina]

Хрюша и Степаша едут по двум пересекающимся окружностям с постоянными скоростями. Выехав одновременно из точки пересечения окружностей и сделав по одному обороту, они снова встретились в этой точке. Где стоит Филя, если расстояния от него до Хрюши и Степаши все время равны между собой?

При каких а существует общее решение у неравенств
x² + 4ax + 3a² > 1 + 2a и
x² + 2ax ≤ 3a² - 8a + 4 ?

Через точку (3,0) координатной плоскости проведены 4 прямые, на прямых выбрано 8 различных точек, произведение абсцисс и ординат каждой из которых одинаковы и отличны от нуля. Найти сумму абсцисс этих точек.

[Teumiel]

Что касается, например, последней задачи, то ответ- +3n, где n-число прямых(теорема Виета). Вообще, задачи довольно простые даже для более-менее приличной школы.

[Руст]

1. Легко показать, что окружности имеют одинаковый радиус и скорости Хрюши и Степаши одинаковые. Соответственно Филя стоит в центре сегмента пересечения.
2. Система эквивалентно:
$|x+2a|>|a+1|, |x+a|\le |a-1|$.
Соответственно рассмотрев случаи :a<-1,-1<=a<=1,a>1 находится есть ли область пересечения.
3. Прямые имеют уравнения:
$y=k_i(x-3),y_ix_i=a$.
Отсюда из теоремы Виета получаются, что сумма абсиц точек пересения с гиперболой есть 4*3=12.