Предел.

[Nerazumovskiy]

Помогите найти предел токой последовательности

$\lim\limits_{n\to\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})$

[ewert]

Выделите из аргумента $\pi n$ как отдельное слагаемое, поправка будет маленькой, её и проанализируйте

[gris]

Можно по определению. Воспользоваться тем, что $|\sin \pi n+x|<|x|$, a $\sqrt {n^2+1} -n= \frac {1} {\sqrt {n^2+1} +n}$

не видел сообщение ewerta...

[ewert]

Более любопытный вопрос на ровно ту же тему: чему равен предел $\sin\left(\pi\sqrt{4n^2+2n}\right)$ ?

[gris]

Вроде тому же... В чём прикол-то?

$|\sin (2 \pi n+x)|<|x|$, a $\sqrt {4n^2+2n} -2n= \frac {2n} {\sqrt {4n^2+2n} +2n}$

Добавлено спустя 3 минуты 47 секунд:

Поправил разность и о чудо, она стремиться к $\frac 1 2$

[ewert]

нет, я пытался, чтоб выкидывалось ровно $2\pi n$, и чтоб оставалась константа, и чтоб числа попроще...

(да, разность у Вас -- неправильная, конечно)

[Nerazumovskiy]

ewert писал(а):

Более любопытный вопрос на ровно ту же тему: чему равен предел $\sin\left(\pi\sqrt{4n^2+2n}\right)$ ?

ну я знаю ещо такой вариант $\sin^2\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)$ (ето следующий пример )

[ewert]

ну для начала учтите, что квадрат синуса -- это никакой не квадрат и никакого не синуса, а вовсе косинус.

[gris]

а разве мешает квадрат? Ваш же предел, ewert, равен единице. Вот если бы минус единице...
Или Вы имеете вииду, что придётся оценивать разность $|\sin(2\pi n+ \frac {\pi} {2} +x) - 1|$?

[kamnev111]

Число \pi - положительное число, корень тоже и причем бесконечно большой и из это следует предел равен 1...

[Brukvalub]

kamnev111 в сообщении #178386 писал(а):

Число\pi - положительное число, корень тоже и причем бесконечно большой и из это следует предел равен 1...

Это - поток сознания?

[ewert]

gris писал(а):

а разве мешает квадрат? Ваш же предел, ewert, равен единице. Вот если бы минус единице...
Или Вы имеете вииду, что придётся оценивать разность $|\sin(2\pi n+ \frac {\pi} {2} +x) - 1|$?

да я ни о чёи не думал, мне в этой ситуации просто лень думать. Есть степень -- ну и понижай её без размышлений. Вот и GAA чего-то опять на меня возмутился...

[gris]

Ну вот сейчас после уточнения задачи в ней будет две подпоследовательности. По чётным она стремится к единице, по нечётным к минус единице. А квадрат их как раз примиряет.

[ewert]

хм, ну уговорили, ну щас вникну. Итак, имеем дело с:

$$\cos(2\pi\sqrt{n^2+n})=\cos(2\pi n\sqrt{1+n^{-1}}\sim\cos(2\pi n(1+n^{-1}/2))=\cos(2\pi n+\pi)=-1.$$

Ну и шо?

[gris]

Теперь вычесть это из единицы и разделить на 2. Получим 1. Вы, разумеется, правы с самого начала.
Просто можно ли пользоваться эквивалентностью бм? Они же только последовательности проходят. И это вроде бы оговаривалось в других темах.