Число n: n! делится на n^2+1 бесконечно

[Sonic86]

Еще одна простая задача.
Докажите, что существует бесконечно много $n: n!$ делится на $n^2+1$.
У этой задачи есть 2 способа решения.
Верно ли утверждение для чисел вида $n^2+a$ и почему.

[worm2]

Утверждение 1-й задачи следует из бесконечности числа решений диофантова уравнения $n^2+1=5m^2$.

Про числа вида $n^2+a$, видимо, утверждение тоже верно. Наверное, это как-то следует из того факта, что любое уравнение Пелля имеет бесконечное множество решений, но я в этой теории не силён.

[Erken1]

Как насчет заменить $n$ на $2k^2$

В этом случае число $4k^4+1$ очевидно раскладывается на различные множители, причем $2k^2+2k+1$ делиться на 5 при $k\equiv 1$ mod $5$.

Думаю этого достаточно.

[Sonic86]

worm2, Вы видимо придумали 3-й способ решения. Во всяком случае не очень похоже на то, что я видел. Еще один способ принесу, я его не помню так. Я решал способом Erken2

[bot]

worm2 писал(а):

Про числа вида $n^2+a$, видимо, утверждение тоже верно.

Для любого целого $a\ne 0$ годится $x^2-(9a^2+a)y^2=-a$.
Начинал с $x^2-(4a^2+a)y^2=-a$ (которое при $a=1$ даёт $x^2-5y^2=-1$), но оно не годится для $a=-1$
Для $a=0$ годится $2n, \, n\geqslant 3$

[Sonic86]

Еще способ (это дети выдумали). Его можно оформить как от противного, так и индукцией.
Существует n такое, что соотношение выполняется: $n=18, 18!$ делится на $18^2+1= 5^2 \cdot 13$.
Рассмотрим $A=n^2-n+1$. Тогда $A^2+1 = (n^2+1)(n^2-2n+2)$, оба множителя различны.
Значит $A!$ делится на $A^2+1$.
Таким образом получается бесконечная последовательность чисел, удволетворяющих условию.
Правда плотность у множества этих чисел оч маленькая, в отличие от значений квадратного трехчлена.