ряды, блохи..

[Rio]

Здравствуйте-)
Блоха прыгает по координатной плоскости. Первый прыжок она делает из точки (0,0) в точку (1;0). Каждый следующий прыжок блохи в 2 раза короче предыдущего и образует с направлением предыдущего прыжка угол в 60 градусов протов часовой стрелки. В какую точку прискачет блоха к концу времен?

я думаю, в конце всего та блоха допрыгается до точки.
$x=1+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\cos\frac{\pi}{3}n$
$y=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\sin\frac{\pi}{3}n$
вот. и тут, вероятно, надо посчитать эти пределы частчных сумм(ряды сходятся). но, насколько я знаю, сумму таких рядов вроде никто считать не умеет.
тут(например для косинуса) чтоли надо рассмотреть то, что его значение в зависимости от кратности n может быть лишь 1,-1, 0.5,-0.5. и разбить ряд с косинусом на 4 ряда, в каждом из которых окажется б.у.геометрическая прогрессия?) ...это неверно?

[Yu_K]

Цитата:

но, насколько я знаю, сумму таких рядов вроде никто считать не умеет

Попробуйте посмотреть все это на комплексной плоскости и ф-лу для $e^i$ вспомните и вспомните еще, что такое геометричекая прогрессия, и Вы будете первым уметь считать такие суммы из тех, кто не умеет такие суммы считать.

[Алексей К.]

Блоха скачет по логарифмической спирали $r(\varphi)=r_0\mathrm{e}^{-b\varphi}$ где $b=\frac{3\ln2}{\pi}$ (смещённой отн. начала координат) и прискачет к её полюсу. Полярный шаг прыжков --- те же $60^\circ$. Осталось на спирали в каноническом положении подобрать $r_0\stackrel{?}{=}\frac{2}{\sqrt3}$ так, чтобы первая хорда $[\varphi=0^\circ \to \varphi=60^\circ]$ была единичной длины (здесь теорема косинусов удивительно хорошо сработает ) . Теперь эту хорду совместить с хордой первого прыжка $[(0,0)\to(1,0)]$ и посмотреть, куда при этом уйдёт полюс.

Следует заметить, что хотя путь блохи вполне спрямляем, её ожидают большие трудности от того, что вариация поворота этого пути неограничена.

[vvvv]

[Rio]

спасибо всем)).
а..просто, раньше мы считали суммы пару раз и там все хоп-хоп и сокращалось