Секвенциальная компактность и поточечная сходимость

[id]

Вопрос:
Можно ли из $\sin nx, \ n \in \mathbb{N}, \ x \in [0,1]$ выделить поточечно сходящуюся к чему-либо подпоследовательность? ( $f_n(x) = \sin nx$ по $n$ ).

Если да/нет, то как, в каком направлении подумать для обоснования?

Что-то сразу не соображается.

[PAV]

В каком диапазоне принимает значения эта последовательность?

[ewert]

Чтоб не мучиться, замените $[0;\;1]$ на $[0;\;\pi].$ Последовать станет ортогональной (с фиксироваными нормами) и, следовательно, не предкомпактной в $L_2.$ Однако из поточечной сходимости следовала бы сходимость по мере, а с учётом равномерной ограниченности -- и сходимость в $L_2.$

[id]

Последовательность этих функций равномерно ограничена.

Известно, например, что множество частичных пределов $\sin n$ совпадает с $[-1,1]$.
Но задача стоит так - дана последовательность функций $f_n(x) = \sin nx$ x - на отрезке $[0,1]$ ( но можно рассматривать и $[0,\pi]$, это несущественно ). Можно ли из этой последовательности функций выделить поточечно сходящуюся подпоследовательность?

Добавлено спустя 5 минут 25 секунд:

ewert
Аа... Действительно, спасибо!
Последнее - ссылка на т. Лебега о мажорантной сходимости?

[ewert]

Можно и на мажорантную, и даже лучше -- запрещается даже сходимость почти всюду. Но имелась в виду другая теорема Лебега.