Плотность вероятности белого гауссового шума

[Владимир [unn]]

Существует ли у белого гауссового шума (гауусового шума с $\left<\xi(t)\right>=0, \left<\xi(t)\xi(t+\tau)\right>=\delta(\tau)$) плотность вероятности?

[Sonic86]

На память отвечаю: вроде есть и равна дельта-функции (есть только в этом смысле).

[Хорхе]

Плотность относительно чего? И как понимается белый шум (от этого зависит ответ)?

ЗЫ Конечно, это не дельта-функция ("плотность" константы).

[Владимир [unn]]

"белый" - как написано в первом сообщении, т.е. дельта-коррелированный шум (соостветственно, с постоянной СПМ во всей бесконечной полосе частот).

дельта-функции плотность быть равна не может, хотя бы потому, что при увеличении дисперсии плотность вероятности размазывается во все большей области, и при бесконечно дисперсии она, по идее, должна равняться нулю. Но еще чтобы выполнялось условие нормировки...

P.S. а как понимать "Плотность относительно чего?"

[Хорхе]

Уточняю вопрос: белый шум -- это что? Случайный процесс? Если случайный процесс, то где?

[Владимир [unn]]

Хорхе писал(а):

Уточняю вопрос: белый шум -- это что? Случайный процесс?

Да нет, какой случайный!! Давайте рассмотрим плотность вероятности детерминированного процесса!

Хорхе писал(а):

Если случайный процесс, то где?

в каком смысле где?

[oliva]

Странный вопрос. Гаусовый шум потому гаусовый, что плотность вероятности у него гаусова т.е. нормально распределена.
А белый он потому, что на всех частотах спектральная плотность мощности постоянна.
Белизна определяет интенсивность случайного процесса, а гаусовость закон распределения.

[Владимир [unn]]

oliva
это понятно. Но при этом белизна дает нам бесконечную "дисперсию" (которая следует из дельта-коррелированности). И попытавшись в лоб подставить ее в гауссово распределение, получим, что для любого конечного значения процесса плотность вероятности равна нулю, что, очевидно, не удовлетворяет условию нормировки...

[Sonic86]

Блин!
Я вот Вам могу только словами объяснить, формулами уже не смогу.
Белый шум - идеализированный случайный процесс. Идеализированный в том смысле, что такого шума не бывает, но есть сколь угодно близкие к нему случайные процессы. То, что такого шума не бывает, но возможны ему сколь угодно близкие математически отражается тем фактом, что корелляционная функция - дельта-функция. Но она не есть функция в обычном смысле, она - обобщенная функция (тут Вы меня про это не спрашивайте, я это давно читал, но толком разбираться времени не хватило). Кажется КФ должна быть непрерывна, а дельта-функция - нет, но может быть получена как предел из непрерывных функций, поэтому возможно сколь угодно похожие процессы.
Вот реально например, чтобы эмпирически проверить, что данный процесс есть белый шум надо было бы провести бесконечное число экспериментов - надо было бы иметь последовательность сколь угодно больших значений частоыт в его спектре. Поэтому эмпирически (в опыте) его нет. Но это - удобная абстракция для рассуждений (как материальная точка, идеальный газ и т.п.).

В принципе белый шум может быть получен как предел гауссова процесса, когда сигма стремится к нулю.

[Gortaur]

обощенная функция - довольно просто, если понять, что мы хотим например только интегрировать. Тогда легко:

$$ g(x) = \int\limits_a^x{f(t)}{dt} $$

должно быть обычной функцией от $x$. Легко проверить, что если $g(x)=\frac{\sgn{x}+1}{2}$, то ее обощенной производной будет $\delta(x)$. Вообще, плотность сл. величины, принимающей значения $\{a_k\}$ с вероятностями $\{p_k\}$, здесь $k=1,...,\infty$ равна:

$$ \sum\limits_k{p_k \delta(x-a_k)} $$

[oliva]

Владимир [unn] писал(а):

[
при этом белизна дает нам бесконечную "дисперсию" (которая следует из дельта-коррелированности). И попытавшись в лоб подставить ее в гауссово распределение, получим, что для любого конечного значения процесса плотность вероятности равна нулю, что, очевидно, не удовлетворяет условию нормировки...

Формул я лихо (в отличии от некоторых не напишу ) но помню следующее.
1. Дисперсия равна мощности. Для белого шума спектральная плоность мощности постоянна т.е. const для всех наблюдаемых частот
2. Автокорреляционная функция в точке t=0 равна дисперсии случайного процесса (она же мощность). Т.е. для белого шума автокорреляционная функция в точке t=0 равна той же константе что и СПМ, а во всех остальных точках 0. Никакой бесконечности тут нет.

[Владимир [unn]]

Sonic86 писал(а):

...Поэтому эмпирически (в опыте) его нет. Но это - удобная абстракция для рассуждений (как материальная точка, идеальный газ и т.п.).

ну да... я как раз и спрашиваю про абстракцию

Sonic86 писал(а):

В принципе белый шум может быть получен как предел гауссова процесса, когда сигма стремится к нулю.

Если будем сигма (стандартное отклонение) стремить к нулю, то получим детерминированную (совершенно не случайную) величину (разброс значений у нее будет нулевой).

Кстати, последовательность

$$\frac1{\sqrt{2\pi\epsilon_k}}exp\left(-\frac{x^2}{2\epsilon_k}\right)$$

, где \epsilon_k=1/k - это одна из фундаментальных последовательносей, при

$$k\to\infty$$

сходящихся к дельта-функции. А дельта-функция является плотностью вероятности детерминированной величины.

oliva писал(а):

1. Дисперсия равна мощности. Для белого шума спектральная плоность мощности постоянна т.е. const для всех наблюдаемых частот
2. Автокорреляционная функция в точке t=0 равна дисперсии случайного процесса (она же мощность). Т.е. для белого шума автокорреляционная функция в точке t=0 равна той же константе что и СПМ, а во всех остальных точках 0. Никакой бесконечности тут нет.

Да, почти правильно. Дисперсия = мощности = АКФ(t=0) = бесконечности, т.к. АКФ - дельта-функция. А константа, которой равна СПМ - это константа перед дельта-функцией в АКФ (следует из формулы Винера-Хинчина).

[Sonic86]

Насчет сигмы я чушь сказал. Насчет того, что плотность вероятности равна дельта-функции тоже чушь сказал.

Я тут почитал на выходных...
Белый шум - это случайный процесс - случайная функция. А в исходном сообщении у Вас вопрос стоит о плотности вероятности. Обычно такую характеристику не рассматривают (ну я не видел), обычно рассматривают корелляционную функцию, а здесь она равна дельта-функции.
Как Вы понимаете плотность вероятности случайного процесса? Как функцию $f(x)=F'(x)$, где $F(x)=P(\xi(t)<x)$?
Надо подумать...
Наверное равномерно распределена либо на отрезке, либо на $\mathbb{R}$ (опять же: такого не бывает - абстракиця). Не знаю
А! Дисперсия-то бесконечна! $M(\xi(t) \xi(t + \tau)) = \delta (t)$, значит $D = M(\xi (t) \xi (t+0))=+ \infty$. Ну наверное равномерно распределена на $\mathbb{R}$. Необычная такая плотность распределения получается. Тут наверное надо вводить обощенную функцию в другом смысле - она равна 0 при всех х, но интеграл от минус до плюс бесконечности равен 1. Ну или считать это рассуждение доказательством его несуществования. Или считать его пределом гауссова распределения кодга сигма стремится к бесконечности - распределение будет неограниченоно расползаться влево-вправо при увеличении количества измерений

[Sonic86]

Короче говоря, нету у белого шума плотности распределения. По смыслу это - следствие абстракции. А если Вам плотность вероятности для чего-то нужна была, то поступить можете так: взять стационарный случайный процесс с гауссовым распределением на отрезке $t \in [0; T]$, подставить его параметры куда надо (если Вы что-то вычисляете) и устремлять $\sigma, T \to + \infty$ и смотреть что получается.
Насчет того, как должны стремится $\sigma, T \to + \infty$ я пока не знаю.