Значения тригонометрических функций нескольких углов

[Volnik]

Уважаемые!
Вероятно, простейшая задача - найти значение функции $\sin\frac{\pi}{18}$
Но я зашел в тупик.
Представляю как $\sin\frac{\frac{\pi}{6}}{3}$
От формулы тройного угла
$\sin\frac{\pi}{6}=3\sin\frac{\pi}{18}-4(\sin\frac{\pi}{18})^3$
перехожу к кубическому уравнению:
$x^3-\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=0$
Использую алгоритм метода Виета-Кардано:
$a=0$
$b=-\frac{3}{4}$
$c=\frac{1}{8}$
Коэффициенты
$Q=\frac{a^2-3b}{9}$
$Q=\frac{1}{4}$,
$R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}$
$R=\frac{1}{16}$
Далее получаю три действительных корня по формулам Виета:
$t=\frac{\arccos\frac{R}{\sqrt{Q^3}}}{3}$
$t=\frac{\pi}{9}$
$x_{1}=-\cos\frac{\pi}{9}$
$x_{2}=-\cos\frac{7\pi}{9}$
$x_{3}=-\cos{-\frac{5\pi}{9}}$
Третий корень вырождается в тождество $\sin\frac{\pi}{18}=\sin\frac{\pi}{18}$
Из второго получаю, сделав замену: $\sin\frac{\pi}{18}=a$
$-a^2-a+a\sqrt{3}\sqrt{1-a^2}+\frac{1}{2}=0$
откуда следует
$a^4+2a^3+2a^2-a-\frac{7}{4}=0$

А дальше идей нет
Я где-то допустил ошибку или все правильно и надо сворачивать уравнение?

[PAV]

PAV:

Вы неправильно набираете формулы. Из-за этого неправильные шрифты и неправильные дроби. Каждую формулу нужно окружить знаками долларов, а тег math можно самому и не добавлять, он будет добавлен автоматически. Подробнее об этом можно прочитать во втором сообщении темы Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться, раздел "Чем окружать формулы". Отредактируйте, пожалуйста, свое сообщение.

[Volnik]

Спасибо. Поправил, вроде бы правильно теперь отображается все.

[ShMaxG]

http://dxdy.ru/topic13386.html Вот так вот...

[Алексей К.]

Вы решали кубическое уравнение $x^3-\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=0$ и получили простое и красивое и правильное решение $x=\sin\frac\pi{18}$. Заметьте, что человек, задачей которого было решить это уравнение, будет вполне удовлетворён и доволен. И метод заточен под то, чтобы получить ответ в таком виде.

Так что, полагаю, для Вашей задачки надо придумать другой способ. Те же формулы Кардано в чистом виде дадут некий малоприемлемый ответ. Задача вроде известная, или скоро придумаем, или скоро подскажут.

Добавлено спустя 9 минут 47 секунд:

Судя по дискуссии, приведённой ShMaxG, ничего не остаётся, кроме как привести тупое выражение Кардано, да ещё выяснить, какой из трёх корней "наш". Попытка избавиться от мнимостей приведёт к тем же тригонометрическим выражениям.
Остаётся надеяться, что это была не учебная задачка, а из любопытства, которое с пользой удовлетворилось.

Добавлено спустя 7 минут 58 секунд:

А ещё сюда загляните. Там столько синусов! Нашего нет, но всё равно --- весело.

[Volnik]

ShMaxG
Спасибо. Действительно, оказывается вопрос уже обсуждался.

Алексей К.
Отдельное спасибо за открытие для меня портала wolfram.com
Там ещё очень много интересного открыл для себя

[Архипов]

Volnik в сообщении #177880 писал(а):

Уважаемые!
Вероятно, простейшая задача - найти значение функции $sin(Pi/18))$
От формулы тройного угла
перехожу к кубическому уравнению:
Использую алгоритм метода Виета-Кардано:

1) $sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-...$ с любой точностью на бумажке (угол (х) - в радианах).
2) $sin(x)=2*sin(x/2)*cos(x/2)$ - можно взять х/8 и трижды вычислить, для двойного угла (на калькуляторе). Старинный способ.

[Алексей К.]

Архипов писал(а):

Volnik в сообщении #177880 писал(а):

Вероятно, простейшая задача - найти значение функции $sin(Pi/18))$

Однако Volnik в сообщении #177880 написал вполне грамотно $\sin\frac{\pi}{18}$.
Уж цитату-то зачем искажать??? Об остальном молчу...