Почему можно интегрировать этот ряд?

[zensou]

Дан ряд:
$\sum\limits_{n = 0} ^ {\infty} {n(2n + 1)x^{n+2}}$
Необходимо найти его сумму. Этот ряд я разбиваю на 2:
$x^3(2\sum\limits_{n = 0} ^ {\infty} {n^2x^{n-1}} + \sum\limits_{n = 0} ^ {\infty} {nx^{n-1})$
Далее интегрирую каждую сумму, применяю формулу для геометрической прогрессии и обратно беру производую, получаю ответ.
Вопрос в том, почему можно интегрировать эти ряды? Я пересмотрел все книги по матану, что у меня есть (Кудрявцев, Ильин), но ни в одной не говорится даже о том, что такой метод существует.

[GAA]

см. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 2; Гл. 1 Функциональные последовательности и ряды, §4 Степенные ряды, п.3 Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда.

[ewert]

Ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать, если все интересующие нас ряды сходятся равномерно (на самом деле не обязательно все, но сейчас это не важно). Степенной ряд сходится в круге сходимости (точнее, в любом меньшем круге) именно равномерно -- это теорема Абеля. Радиус сходимости при дифференцировании,интегрирования не меняется (тоже следует из теоремы Абеля).

Следовательно, внутри круга сходимости ряд можно спокойно интегрировать и дифференцировать, причём любое число раз.

А вообще-то это стандартный кусочек не столько матана, сколько ТФКП.