Траектория заполняющая тор

[MaximKat]

Тор задается уравнениями
$\left\{\begin{matrix}x(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \cos \psi \\y(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \sin \psi \\z(\phi,\psi) = & r \sin \phi \\\end{matrix}\right.\qquad \phi, \psi \in [0,2\pi)$
Утверждается, что решение уравнения $\frac{d\phi}{d\psi}=\alpha$, (т.е. $\phi=\phi_0+\alpha(\psi-\psi_0)$) где $\alpha$ - фиксированное иррациональное число заполняет весь тор. Разве это правильно?

Мое рассуждение следующее.
Пусть $\phi_0=\psi_0=0$. Рассмотрим развертку на плоскость, точки с координатами отличающимися на $2\pi$ на плокости совпадают на торе. Т.е. чтобы траектория проходила через точку $(\phi',\psi')$ на торе она должна проходить через точку $(\phi'+2\pi n, \psi'+2\pi k), k,n\in\mathbb{Z}$ на плоскости. Отсюда $\frac{\phi'+2\pi n}{\psi'+2\pi k}=\alpha$ => $n-\alpha k=\frac{1}{2\pi}(\alpha\psi'-\phi')$, т.е. $n-\alpha k$ должно принимать любое значение из какого-то интервала. С другой стороны оно может принимать только счетное число значений. Значит останутся "дырки", через которые траектория не проходит.

Я прав?

[Brukvalub]

MaximKat в сообщении #177358 писал(а):

Утверждается, что решение уравнения $\frac{d\phi}{d\psi}=\alpha$, (т.е. $\phi=\phi_0+\alpha(\psi-\psi_0)$) где $\alpha$ - фиксированное иррациональное число заполняет весь тор. Разве это правильно?

Это неверно, но эта траектория всюду плотна на торе.

[MaximKat]

Ах, вот оно что
Спасибо