Предел sinX*sin2X*...*sinNX*...

[Imperator]

Найти
$\lim\limits_{n \to \infty} \sin{x}\cdot \sin{2x}\cdot \sin{3x} \cdot...\cdot \sin{(nx)}.$

[gris]

тут надо по определению предела. Пользуясь тем, что для любого $x$ найдутся такие $n$ и $m$, что $n\cdot x$ достаточно близко к $\pi \cdot m$. Остальные сомножители ограничены.

[Imperator]

gris

Спасибо, понятно. Тогда предел равен нулю. Но почему такие числа обязательно найдутся?

[gris]

Я убрал про иррациональность $\pi$.
Число $\frac {\pi} {x}$ можно приблизить дробью $\frac n m$ с любой точностью. Но всё равно надо через эпсилон-дельту аккуратно доказать.

[Полосин]

Считаем $x$ несоизмеримым с $\pi$. Пусть $a_n=|\sin x|...|\sin (nx)|$, тогда $a_n$ - монотонна и ограничена, стало быть, сходится. Если ее предел отличен от нуля, то $a_n/a_{n-1}=|\sin(nx)|\rightarrow1$ - противоречие.