2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предел sinX*sin2X*...*sinNX*...
Сообщение13.01.2009, 20:24 
Найти
$\lim\limits_{n \to \infty} \sin{x}\cdot \sin{2x}\cdot \sin{3x} \cdot...\cdot \sin{(nx)}.$

 
 
 
 
Сообщение13.01.2009, 20:34 
Аватара пользователя
тут надо по определению предела. Пользуясь тем, что для любого $x$ найдутся такие $n$ и $m$, что $n\cdot x$ достаточно близко к $\pi \cdot m$. Остальные сомножители ограничены.

 
 
 
 
Сообщение13.01.2009, 20:40 
gris

Спасибо, понятно. Тогда предел равен нулю. Но почему такие числа обязательно найдутся?

 
 
 
 
Сообщение13.01.2009, 20:50 
Аватара пользователя
Я убрал про иррациональность $\pi$.
Число $\frac {\pi} {x}$ можно приблизить дробью $\frac n m$ с любой точностью. Но всё равно надо через эпсилон-дельту аккуратно доказать.

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 22:58 
Считаем $x$ несоизмеримым с $\pi$. Пусть $a_n=|\sin x|...|\sin (nx)|$, тогда $a_n$ - монотонна и ограничена, стало быть, сходится. Если ее предел отличен от нуля, то $a_n/a_{n-1}=|\sin(nx)|\rightarrow1$ - противоречие.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group