Строгая дифференцируемость

[тоша]

Здравствуйте! Прошу вас помочь мне советом. Есть определение
$f: \mathbb{X} \to \mathbb{Y} $
строго дифференцируемо в $x_0$, если
$\exists$ линейный оператор $A : \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0: \forall x_1, x_2:$
$ ||x_1-x_0||_x<\delta$ и $||x_2-x_0||_x<\delta \Rightarrow $
$ ||f(x_1)-f(x_2)-A(x_1-x_2)||_y < \varepsilon ||x_1-x_2||_x $
Честно говоря, здесь может быть ошибка. На самом деле, я просто надеюсь, что вы опознаете (даже если его нет в учебниках и написано неправильно) понятие. Чем "строгое" отличается "сильного"(то есть обычного)? Примеры какие-нибудь?..
Upd: поменял то, что было на "линейный оператор" и добавил "в $x_0$"

[ewert]

Не знаю контекста, но. В приведённом виде определение равносильно обычной дифференцируемости. А вот если потребовать, чтобы первый и второй иксы принадлежали выколотой окрестности, то определение станет более слабым и, между прочим, полезным.

[bot]

ewert в сообщении #176694 писал(а):

Не знаю контекста, но. В приведённом виде определение равносильно обычной дифференцируемости

Обычная дифференцируемость в точке $x_0$ не так пишется - это свойство явно сильнее, преамбула перед последним неравенством та же что и в критерии существования предела.
Смущает только сочетание линейная непрерывная - может быть просто $A$ - линейный оператор? Странно однако предполагать его зависимость от ... чего - от точки $x_0$?

[ewert]

да, чего-то меня занесло. Из малости $||x_1-x_0||$ и $||x_2-x_0||$ не следует малость $||x_1-x_2||$.

(А -- естественно, линейный оператор и, естественоо, зависящий от точки)

[GAA]

тоша писал(а):

Чем "строгое" отличается "сильного"(то есть обычного)? Примеры какие-нибудь?

Пример [1]

Цитата:

Пример функции дифференцируемой по Фреше [т.е. дифференцируемой сильно, GAA], но не строго $f: \mathbb R \to \mathbb R$
$f(x) = \left\{\begin{array}{l} x^2, x \in \mathbb Q, \\ 0, x \notin \mathbb Q. \end{array} \right$.
Производная Фреше в точке $\hat x = 0$ существует и равна нулю. Но в любой окрестности нуля функция разрына, а ведь строгая дифференцируемость в точке $\hat x$ влечет непрерывность функции в некоторой окрестности точки $\hat x$.

Ref.
[1] Рамазанов М.Д. Вариационное исчисление. — Уфа, 2003

[Brukvalub]

ewert в сообщении #176700 писал(а):

да, чего-то меня занесло. Из малости $||x_1-x_0||$ и $||x_2-x_0||$ не следует малость $||x_1-x_2||$.

(А -- естественно, линейный оператор и, естественоо, зависящий от точки)

А сейчас Вас снова не занесло?

[ewert]

ага, я и сам уж заметил, ещё раз занесло. Надо поменять местами.

[тоша]

О, GAA, спасибо! ^_^