Ортогональность, проекция, перпендикулярность, базисы и др.

[int13]

Здраствуйте. Тут возникла проблема, я совершенно не разобрался с этой темой. То есть как бы, теорию я знаю почти всю, но с этой ортогональностью большой пробел. Особенно, когда приходится применять её на практике. Недавно, завалился на задании (может быть, не точно):
Дан вектор в некотором ортонормированном базисе (1,1,1,1)T. Найти проекцию вектора и перпендикуляра на линейную оболочку векторов заданных в ортонормированном базисе:
(1,2,1,3)Т, (2,-1,-3,1)Т, (3,-1,-2,4)Т

Может, задание, исказил, но надеюсь что суть донес. Хотя этой сути я и не понимаю. Отголоски теории в голове имеются, а вот разобраться с этим я не знаю как. Что такое проекция на подпространство... Я даже не понимаю, что это за раздел, алгебра или геометрия
Репетитора брать, знакомых нет никого. В интернете ничего не нахожу. В учебнике какие-то размытые определения, по которым я ну никак, суть этой ортогональности уловить не могу. Может есть какие-нибудь ресурсы, учебники, в которых эта тема изложена в более простом виде для усвоения? Если б с практическими заданиями и примерами - было бы вообще отлично. Времени у меня много, еще целый месяц (до переэкзамена), но информацию хотелось бы иметь под рукой, хоть что-нибудь, в лекциях разобраться тоже не представляется возможным.. Есть какие-нибудь идеи как осветить эту тему?) И если вкратце, есть возможно рассказать как нужно было решать верхний пример, на котором я завалился (хотя вероятность что пойму - мала, но хоть буду знать с чем связался), то было бы очень хорошо )

[mkot]

Исправьте формулы!

А идея проста. Пусть $y_1, y_2, \ldots, y_n$ -- заданые вектора, потребуем, чтобы они были линейно независимы (иначе, выберем линейно независимое подмножество).
Далее пусть $L = \left<y_1, y_2, \ldots, y_n\right>$, $L^\bot$ -- ортогональное дополнение $L$.
Тогда любой вектор $x$ можно представить в виде $x = y + z$, где $y \in L$, $z \in L^\bot$ причём единственным образом (известная теорема, ну или следствие из известной теоремы).

Далее через $\left<\cdot, \cdot \right>$ обозначено скалярное произведение.
Теперь заметим, что $\left<x, y_i\right> = \left< y, y_i\right>$ (Проверьте! Следует из того, что $x = y + z$).
Далее заметим, что $y = \sum \alpha_i y_i$ по определению $L$.
Тогда скалярно домножим это равенство на $y_j$: $\left<y, y_j\right> =\left< \sum \alpha_i y_i, y_j\right>$. Воспользовавшись линейностью скалярного произведения,
получим $\left<y, y_j\right> =\sum \alpha_i \left< y_i, y_j\right>$
Откуда (из замечания выше),
$\left<x, y_j\right> = \sum \alpha_i \left<y_i, y_j\right>$.
А это есть не что иное, как система линейных уравнений относительно $\alpha_i$,
решив которую вы найдёте $y$ (Всегда ли она совместна? Если да, то почему?).
Таким образом, найдена проекция вектора на $L$, чтобы найти перпендикуляр, выразим $z$:
$z=x-y$. Вот и всё.