Квадрируемость.

[Draeden]

Если поверхность квадрируема, т.е. достаточно хорошая, то её площадь выражается через параметризацию:

$D \in \mathbb{D}^1$ односвязное открытое множество
$r : D \to \mathbb{R}^3$ дифференцируемая параметризация
$r \in C^1(D)$
$\sigma(S)=\int_D |r_u \times r_v|$

Есть ли достаточно простое доказательство, с минимальным числом искуственных построений ?

[ewert]

дело вкуса, а вот с моей лично точки зрения это -- просто по определению площади, а всё остальное -- от лукавого

[AD]

1. $\mathbb{D}^1$ - это ведь интервал. Может, $\mathbb{D}^2$? upd: А, ну да, и еще, наверное, "$\subset$", а не "$\in$".
2. Да, надо бы определиться, что такое площадь поверхности. Ну Вы, думаю, в курсе, что определений много, и среди них даже встречаются неправильные (см. сапог Шварца).

[Draeden]

ewert, скажите если не секрет, вы ещё студент или преподаватель ? Хотел бы я так сказать экзаменатору, что это просто по определению

AD, насчёт первого пункта: обозначения у всех разные, потому и подписываю По второму пункту. Я пользуюсь таким определением: поверхность можно разбить на несколько частей $S_k$ малого диаметра $d(S_k)<\delta$ таких, что каждая часть будет проектироваться на любую касательную плоскость $S_k \to \Phi_k$ (говорят, что эта поверхность квадрируема). Таким образом площадь это $S=\lim_{\delta \to 0}\sum_k \sigma(\Phi_k)$

[Brukvalub]

Эта часть курса анализа неплохо формализована в учебнике Ильина и Позняка.

[Draeden]

Если попробовать доказать по определению: разбить всю поверхность на маленькие части, чтобы каждая часть
а) проектировалась вдоль любой нормали
б) помещалась в шар известного малого радиуса

Теперь нужно из простых соображений оценить площадь проекции участка поверхности в сфере вдоль одной из нормалей. Как это сделать ?