Помогите с решением кратного интеграла

[Серый]

Здраствуйте! Классный форум, может быть и мне поможете?
Мне задали два таких задания по высшей математике:
1) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
y = 5 корень (х), y = 5х/3, z = 0, z = 5 + 5корень (х)/3
и второе задание:
2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x^2 - 4X + y^2 = 0
x^2 - 8x + y^2 = 0
y=0, y = x/корень 3
Помогите, кто чем может, пожалуйста...
Завтра уже сдавать.

[photon]

a) Пользуйтесь тегом Math (подробно описано здесь.)
Итак, в первой задаче ограничивающие поверхности:

$$y=5\sqrt x,$$ $$ y = \frac{5x}{3},$$ $$z=0,$$ $$ z = 5 + \frac{5\sqrt x}{3}.$$

А во второй - линии:

$$x^2-4x+y^2=0,$$ $$x^2-8x+y^2,$$ $$y=0,$$ $$y=\frac{x}{\sqrt 3}.$$

б) На этом форуме принято помогать кому-то, а не решать за него. Опишите, как решаются такого рода задачи, какие возникли трудности, что было не понятно, и, я уверен, тогда Вам очень быстро и квалифицированно помогут. А сейчас, могу только посоветовать открыть конспект и/или учебник.

[zkutch]

photon надеюсь не обидеть вас подкинув серому формулку хотя-бы по первой задаче

$\int\limits_0^9 {dx\int\limits_{{\textstyle{{5x} \over 3}}}^{5\sqrt x } {\left( {5 + {\textstyle{{5\sqrt x } \over 3}}} \right)} } dy$

[photon]

zkutch писал(а):

photon надеюсь не обидеть вас подкинув серому формулку хотя-бы по первой задаче

Я не обижусь в любом случае - даже если Вы решите за него все его расчетные задания за пять лет учебы. Вопросы такие: "Поймет ли он как это делается?", "Будет ли ему польза или это медвежья услуга?"

[zkutch]

Серый

photon прав и неумолим, мое спасение в ваших руках

[Серый]

Ты настоящий человек!
Смотри, при решении у меня получился в ответе 0, я правильно решил, или что-то не так?
А если ответ верен, то разве может объем быть равным нулю? Тогда как это будет выглядеть графически?
Я наверно задаю слишком много вопросов, но еще у меня проблема в том, что я не умею находить пределы интеграла, то есть D. Как это делается?
И если можно, помоги еще и со второй формулой. ну пожалуйста....

[Серый]

Но ведь верно и то, что если мне подсказали с чего начать, то дальше я смогу разобраться, и уже буду знать как это решается.
Так что я очень благодарен за любую помощь

[zkutch]

Серый писал(а):

...при решении у меня получился в ответе 0

Естественно 0 быть не может, там все кругом строго положительное, мой ответ 180. Возможно ошибка в вычислении, обратите внимание, что подыинтегральная функция ("крыша") не зависит от y, так что фактически сразу появится разность квадратов.

Решение же можно проводить двумя путями: графически и формально. Первый путь самый принятый. Это означает рисовать поверхности и "видеть" фигуру, а по ней, родимой, и выставлять пределы интегрирования. Второй путь обычно интересует "точных" студентов - тут надо написать уравнения и придать формальный смысл решению уравнения. Обычно это делается выделением интервалов монотонности, что соответствует делению "фигуры" на подфигуры.

Я лет шесть тому назад написал что-то вроде методички, как использовать mathcad для решения кратных интегралов и кинул на exponenta.ru, но наверное уже стерли. Могу выслать на мыло или выложить где-нибудь файл mathcad-овский где будет и рисунок красивый трехмерный, покрутить можно, и решение - просто пока не понял как вставить сюда картинку. Если кто подскажет вставлю.

Литература:
антидемидович т.е. Ляшко И.И., Боярчук А.К. и т.д. "Математический анализ в примерах и задачах", ч.2.
Г.М. Фихтенгольц "Курс дифференц. и интегр. исчисления", т 3.


касательно второго интеграла попытайтесь нарисовать обе гиперболы и прямые и сразу "видно", ограниченное множество. Находите точки пересечения, делите фигуру на подфигуры, и для каждой пишете интеграл. Если не получится, пишите, photon обещал не обижаться.

[Серый]

Если можно, то вышли как обещал файл mathcad-овский, мой e-mail: [e-mail]
И ще вопрос, у меня для второй задачи получается вот такое решение площади: int (0, П/3)da_ int (4sina,8sina)rdr = 1/2 int (0,П/3)(1-cos2a)da= 6(a-1/2sin2a)da(П/3,0)=6(п/3-1/2(sin2П/3-sin0)..
Это правильно? А то у меня что-то ответ не получается...
Если можешь, помоги!

[/math]

[Серый]

Посмотрите, в первой задаче, когда я раскладывал по интегралу, у меня получилось вот такое выражение: int(0,9)dx((5+5sqr(x)/3)(5sqr(x)+5x/3) преобразовываю, интегрирую по о и по 9, и в итоге получается 100?
Может быть я что-то неправильно делаю,подскажите...

Касательно второй задачи, никак не получается написать интеграл для каждой фигуры, график построил, а дальше не получается, может все-таки подскажете, мне нужны только пределы интегрирования, а я посмотрю где это на графике...
Мне очень срочно надо! в 12.00 сего дня сдавать

[Серый]

Мне еще надо вычислить интеграл:

$$\int_int\limits_D (9x^2y^2+48x^3y^3)dxdy $$

, а проблема все та же - не получается найти пределы интегрирования, пожалуйста, пожалуйста, пожалуйста..... ПОМОГИТЕ!

[zkutch]

файл выслан на мыло
по первому интегралу
$\int\limits_0^9 {dx} \int\limits_{\tfrac{{5x}} {3}}^{5\sqrt x } {\left( {5 + \tfrac{{5\sqrt x }} {3}} \right)} dy = \int\limits_0^9 {dx} \left( {5 + \tfrac{{5\sqrt x }} {3}} \right)\left( {5\sqrt x - \tfrac{{5x}} {3}} \right) = \int\limits_0^9 {25\sqrt x } \left( {1 - \tfrac{x} {9}} \right)dx = 180

по второму интегралу пересечение $\sqrt {4x - x^2} $ с $\tfrac{x} {{\sqrt 3 }}$ это точки 0 и 3. Ну по графику видно, что нужна вторая. А пересечение $\sqrt {8x - x^2} $ с $\tfrac{x} {{\sqrt 3 }}$ это 0 и 6. Получается три интеграла

$\int\limits_6^8 {\sqrt {8x - x^2} dx} $ , $\int\limits_4^6 {\tfrac{x} {{\sqrt 3 }}} dx$ и $\int\limits_3^{4} {\left( {\tfrac{x} {{\sqrt 3 }} - \sqrt {4x - x^2} } \right)dx} $

Ваши же записи не очень понял, можете набрать в ворде и прислать мне на мыло, или разберитесь тут на форуме действует метод (кстати, photon там в соавторстве с кем-то придумали), как можно с ворда прямо копировать сюда.

Вот и третий ваш интеграл не вижу. Случайно вы не напрасно ли ставите два раза знак долара - если оставить по одному и заключить в мат таги форума смотрите что получится

$\int_int\limits_D (9x^2y^2+48x^3y^3)dxdy $

если это то что вы хотите, то что у вас там за область интегрирования?

[Серый]

Получается что надо по второй задаче находить площадь путем решения тройного интеграла?, правильно? То есть просто подставить пределы интегрирования в интегралы и вычислить, а потом все три перемножить, я прав или нет?
А по третему примеру практически написано правильно, только перед выражением в скобках стоит знак двойного интеграла, а под ними D?
И я что-то никак не могу понять с какого края подойти к решению...
Помогите пожалуйста, ответьте на вопросы.
Извиняюсь, если кажусь слишком навязчивым, просто нужно по-зарез

[Руст]

Ваше решение не смотрел, предлагаю своё:
1. $ V=\int_0^{15} dy \int_{y^2/25}^{3y/5} (5+5\sqrt x /3)dx =\int_0^{15} (3y-y^2/5+2\sqrt{3/5}y^{3/2}-2y^2/{175})dy=540$.
2. $S=\int_0^{\pi/6} 4\cos \phi d\phi =2$.

[zkutch]

Давайте я разобью ответ на две части

Серый писал(а):

Получается что надо по второй задаче находить площадь путем решения тройного интеграла?, правильно? То есть просто подставить пределы интегрирования в интегралы и вычислить, а потом все три перемножить, я прав или нет?

Нет, что вы. Там три интеграла приведенные мной складываются. Это из-за того что если смотреть на вашу фигуру "стоя" на оси Ox, то "крыша" и "пол" будут состоять из нескольких кусков. Во первых запишем вашу фигуру

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x^2 - 4x + y^2 = 0;} \\ {x^2 - 8x + y^2 = 0;} \\ {y = 0;} \\ {y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \\ \end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left( {x - 2} \right)^2 + y^2 = 4;} \\ {\left( {x - 4} \right)^2 + y^2 = 16;} \\ {y = 0;} \\ {y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \\ \end{array}} \right\} \]

это множество есть объединение трех множеств:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {3 \le x \le 4} \\ {\sqrt {4x - x^2 } \le y \le \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \\ \end{array}} \right\}\bigcup {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {4 \le x \le 6} \\ {0 \le y \le \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \\ \end{array}} \right\}} \bigcup {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {6 \le x \le 8} \\ {0 \le y \le \sqrt {8x - x^2 } } \\ \end{array}} \right\}} $

Нарисуйте из заштрихуйте по разному, чтобы видеть эти фигуры. И извините, старика, я в спешке ошибочно развернул подкоренные выражения в прошлом ответе и получил гиперболы вместо кругов. Надеюсь простите, после того как разберемся с решением, то я, с вашего позволения, подкорректирую запись.
Интегралы взяты именно по этим фигурам т.е.

$\int\limits_3^4 {dx\int\limits_{\sqrt {4x - x^2 } }^{\frac{x}{{\sqrt 3 }}} {dy + } } \int\limits_4^6 {dx\int\limits_0^{\frac{x}{{\sqrt 3 }}} {dy + } } \int\limits_6^8 {dx\int\limits_0^{\sqrt {8x - x^2 } } {dy} } $


А вообще, плошадь можно находить с помошью тройного интеграла, когда высота единичная, но тут не тот случай. Кстати, вы получили файл на мыле?