Производная скалярного поля.

[Ворон]

Здравствуйте.

Задание:
Найти производную скалярного поля $U$ в точке $M$ по нормали к поверхности $S$, образующий острый угол с положительным направлением оси $Oz$.

$$U(z,y,z) = xz^2 - \sqrt{x^3y}$$

$$ x^2 - y^2 - 3z + 12 = 0 $$

$$ M(2;2;4) $$

Решение:

$$v(x;y;z) = x^2 - y^2 - 3z + 12 $$

$$ gradv = {2x;-2y;-3} $$

$$ gradv(M) = {4;-4;-3} $$

$$ gradU(M) = {13;-1;16} $$

Ответ:

$$ \frac{dU}{dn} = \frac{8}{\sqrt{41}} $$

У преподавателя ответ такойже, только со знаком минус... Минус я думаю както связан с углом..
Из условия получается что $ \cos \gamma > 0$... Что из этого сожет следовать?

[ewert]

Ворон писал(а):

Из условия получается что $ \cos \gamma > 0$...

Вот именно что и не получается. Почему Вы так решили?

[Ворон]

Да, действительно глупость
В универе мы определяли углы по рисунку.. Но тут у меня неполучилось его нарисовать, функция "ненормальная" и сходу эта поверхность не рисуется

[ewert]

Ворон в сообщении #175992 писал(а):

В универе мы определяли углы по рисунку..

Немедленно отучайтесь! Углы определяются исключительно скалярными произведениями (ну разве что изредка выгоднее использовать векторное).

[Ворон]

Уже отучился

$$ \cos \gamma = - \frac{3}{\sqrt{41}} $$

Получилось что угол между осью $Oz$ и вектором $v$ тупой (гдето 118 град)

[Someone]

И что же теперь делать?

[Ворон]

Из этого следует видимо что:

Угол тупой, и вектор $v$ берётся со знаком минуса.

Тоесть:

$$ gradv(M) = {-4;4;3} $$

Верно? Собствено теперь ответ полностью совпадает..

[Jnrty]

Пишем $\vec n=\pm\mathop{\mathrm{grad}}v(M)=\pm\{4;-4;3\}$ и выбираем тот знак, который даёт острый угол.

[Ворон]

Спасибо, с этим разобрался.

У меня осталась последний пример.. Помогите пожалуйста его дорешать, ибо завтра нужно сдать

Задание:
Найти поток векторного поля $\vec a$ через часть поверхности $S$, вырезаную плоскостью $P$ или плоскостями $P_k$ непосредствено и с помощью формулы Гауса - Остроградского (нормаль внешняя).

$$ \vec a = x \vec i + (y+z) \vec j - (z-y) \vec k $$

$$ x^2 + y^2 + z^2 = 9 $$

$$ z = 0, (z \geqslant 0 ) $$

Решение:

$$ K = \int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} (\vec a \cdot \vec n_o)dS $$

$$ \vec n_o = \pm \frac{grad(x^2+y^2+z^2-9)}{|grad(x^2+y^2+z^2-9)|} = \frac {x \vec i + y \vec j + z \vec k}{3}$$

$$ dS = \sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2}dxdy = \sqrt{1 + \frac{x^2}{9-x^2-y^2} + \frac{y^2}{9-x^2-y^2}}dxdy = \frac{3dxdy}{\sqrt{9-x^2-y^2}} $$

$$ \vec a \cdot \vec n_o = \frac{x^2 + y(y + z) - z(z-y)}{3}|_{x^2+y^2+z^2 = 9} = \frac{x^2 + y^2 + yz - z^2 + yz}{3} = .... $$

Вот тут вот можно какнибудь упростить? И правильно ли я тут всё посчитал?

[Ворон]

Ну хоть подсказыньку какуюнибудь

[Someone]

Выразить $z$ из уравнения поверхности и подставить. А потом считать интеграл в полярных координатах.

[Ворон]

Спасибо, преподаватель посоветовал тоже самое. Вот только чтото не совсем получается:

$$ \frac{x^2 + y^2 + yz - z^2 + yz}{3} = \frac{x^2 + y^2 + 2y \sqrt{9-y^2 - x^2}- (9-y^2-x^2)}{3} = \frac{r^2 + 2r \sin \varphi \sqrt{9-r^2} - 9 + r^2}{3} = \frac{2r^2 + 2r \sin \varphi \sqrt{9-r^2} - 9}{3}$$

Какойто он не красивый получился, может ошибся гдето?

Пробовал разбить его на три интеграла и вычислить:

$$ \int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} \frac{2r^2}{3}d\varphi dr + \int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} \frac{2r \sin \varphi \sqrt{9-r^2}}{3}d\varphi dr - \int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} 3 d\varphi dr$$

Посмотрите пожалуйста где ошибки.. Если этот интеграл посчитать, то получиться $-6 \pi$, что не сходиться с ответом $18 \pi$

[Someone]

Это не тот интеграл. Составьте его аккуратно, по шагам, ничего не пропуская. Сначала подставьте $(\vec z\cdot\vec n_0)$ и $dS$, потом перейдите к полярным координатам, не забывая про модуль якобиана.

Я посчитал по формуле

$$K=\iint\limits_SX(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+Z(x,y,z)dxdy=$$

$$=\pm\iint\limits_{D_{xy}}\left(-X(x,y,z(x,y))\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}-Y(x,y,z(x,y))\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}+Z(x,y,z(x,y))\right)dxdy\text{.}$$

получилось действительно $18\pi$.

[Ворон]

$$ \frac{x^2 + y^2 + yz - z^2 + yz}{3} \cdot \frac{3dxdy}{\sqrt{9-y^2-x^2}}$$

Подставим

$$ z = \sqrt{9-y^2-x^2}$$

$$\frac{x^2+y^2+2y \sqrt{9-y^2-x^2}-(9-y^2-x^2)}{\sqrt{9-y^2-x^2}} dxdy=$$

$$\frac{x^2+y^2+2y \sqrt{9-(y^2+x^2)}-9+y^2+x^2}{\sqrt{9-(y^2+x^2)}} dxdy=$$

$$ r \cdot \frac{r^2+2r \sin \varphi \sqrt{9-r^2}-9+r^2}{\sqrt{9-r^2}} d \varphi dr =$$

$$ r \cdot \frac{2r^2+2r \sin \varphi \sqrt{9-r^2}-9}{\sqrt{9-r^2}} d \varphi dr$$

Какойто ужасный интеграл получается

[Someone]

Да ничего, он легко вычисляется. Интеграл с синусом равен нулю, а в остальных членах $r$ в нечётной степени, так что можно подставить $\sqrt{9-r^2}=t$.