Формула для суммы целых частей

[IvanUsach]

Здравствуйте. Появилась такая проблема.
Можно ли написать явную формулу для суммы вида $\left[\frac pq\right]+\left[\frac{2p}q\right]+\left[\frac{3p}q\right]+\ldots+\left[\frac{np}q\right]$
где n, p, q - натуральные.
При целом $\frac p q$ всё несложно, а если не целое - тогда как?

[SwetlAnkA]

эмм... пример хромает...

Добавлено спустя 51 минуту 55 секунд:

вот теперь исправлено))) и все видно

[Someone]

SwetlAnkA в сообщении #175775 писал(а):

вот теперь исправлено))) и все видно

Плохо исправлено. Насколько я помню первоначальный вариант, там было
$\left[\frac pq\right]+\left[\frac{2p}q\right]+\left[\frac{3p}q\right]+\ldots+\left[\frac{np}q\right]$.

[maxal]

Боюсь, что замкнутую формулу можно вывести только в некоторых частных случаях, таких как $n=q$.

[IvanUsach]

Я, в общем, пришёл к тому же выводу.

[ИСН]

Алгоритм, безусловно, существует: взяли-посчитали первое слагаемое, прибавили второе, потом третье...

[Профессор Снэйп]

ИСН писал(а):

Алгоритм, безусловно, существует: взяли-посчитали первое слагаемое, прибавили второе, потом третье...

Не ну есть конечно и более эффективный алгоритм. Прикинули, при каком максимальном $k_1$ выполнено $[p/q] = [k_1p/q]$, затем прикинули, при каком максимальном $k_2$ выполнено $[(k_1+1)p/q] = [k_2p/q]$ и т. д., затем сложили $k_1 \cdot [p/q] + (k_2-k_1) \cdot [k_2p/q] + \ldots$. При маленьком $p$ и больших $n$, $q$ вычисления будут производиться значительно быстрее.

Я думаю, что можно и формулу получить более-менее приемлемую. Правда, сейчас уже поздно и лень думать

[Архипов]

IvanUsach писал(а):

Здравствуйте. Появилась такая проблема.
Можно ли написать явную формулу для суммы вида $\left[\frac pq\right]+\left[\frac{2p}q\right]+\left[\frac{3p}q\right]+\ldots+\left[\frac{np}q\right]$
где n, p, q - натуральные.
При целом $\frac p q$ всё несложно, а если не целое - тогда как?

Если скобки не имеют значения, то сумма этого ряда - сумма простейшей арифметической прогрессии (1+2+3+...+n), умноженная на (р/q), как общего множителя для всех членов ряда. Причем только n - натуральные, для (р и q) - допустимы действительные числа.
Не ясно про "явную формулу". Как будто существуют мнимые формулы? То, что написано в ссылке - тоже формула.