Вложение пространств l_p

[Lister]

Пусть $1 \leqslant p < q \leqslant \infty$. Доказать, что $l_p \subset l_q$ и $||x||_{l_q} \leqslant ||x||_{l_p}$ $\forall x \in l_p$.

Рассмотрим сначала простейший случай $||x||_{l_p} = 1, p<q$, тогда $|x_j|\leqslant 1 $ $\forall j$, $0 < |x_j|^q < |x_j|^p$ и в силу признака сравнения из сходимости ряда $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} {|x_n|^p}$ следует сходимость ряда $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} {|x_n|^q}$, т.е. $l_p \subset l_q$.
Я так понимаю, здесь можно каким-то образом обобщить этот случай на случай произвольной нормы? При док-ве неравенства Гёльдера для сумм $\sum\limits_{k = 1}^{n} {|x_k b_k|} \le \left(\sum\limits_{k = 1}^{n} {|a_k|^p}\right)^{1/p} \left(\sum\limits_{k = 1}^{n} {|b_k|^q}\right)^{1/q}$ у Колмогорова, Фомина, например, используется факт однородности рассматриваемого неравенства, поэтому они ограничиваются рассмотрением случая $\sum\limits_{k = 1}^{n} {|a_k|^p} = \sum\limits_{k = 1}^{n} {|b_k|^q} = 1$. Здесь что-то аналогичное? И по поводу неравенства для норм - не совсем почему-то понятно, что с ними делать. Спасибо.
edit: достаточно ли для завершения доказательства вложенности просто провести нормировку $y= \frac x {||x||_{l_p}}$?

[AD]

Цитата:

достаточно ли для завершения доказательства вложенности просто провести нормировку $y= \frac x {||x||_{l_p}}$?

А что подсказывает сердце?.. (c)

[Lister]

Cердце подсказывает, что можно, а вот по поводу неравенства для норм упорно молчит

[AD]

$$\left\|\frac{x}{\|x\|_p}\right\|_q\le1$$

$\Rightarrow$ $\|x\|_q\le\|x\|_p$

[Lister]

Благодарю, вопрос решен.