Аналитическая геометрия в пространстве. У меня экз в воскрес

[Еленочка]

Показать, что уравнение кругового конуса с вершиной в начале координат, осью $\frac x p $=$\frac y q $=$\frac z r$ и углом при вершине 2$\alpha$ можно записать в виде $\frac {(px+qy+rz)^2} {(x^2+y^2+z^2)(p^2+q^2+r^2)}$=$\cos^2\alpha $

[vvvv]

Это следует из формулы косинуса угла меду постоянным вектором и переменным
вектором, лежащим на образующей конуса, после возведения обеих частей формулы в квадрат.

[Еленочка]

vvvv писал(а):

Это следует из формулы косинуса угла меду постоянным вектором и переменным
вектором, лежащим на образующей конуса, после возведения обеих частей формулы в квадрат.

Добавлено спустя 3 минуты 47 секунд:

Спасибо за подсказку , а такая задача тоже элементарно решается?

Показать, что уравнение кругового цилиндра радиуса R с осью $\frac x p $=$\frac y q $=$\frac z r$ можно записать в виде $ x^2+y^2+z^2-R^2$=$\frac {(px+qy+rz)^2} {(p^2+q^2+r^2)}$

[Yu_K]

А что такое цилиндр знаете - расстояние от любой точки на его пов-ти до оси попробуйте найти.

[Еленочка]

Yu_K писал(а):

А что такое цилиндр знаете - расстояние от любой точки на его пов-ти до оси попробуйте найти.

Я это решение пробовала и у меня получается выражение далекое от искомого, может кто-то знает решение попроще?

$ R^2$=$\frac {x^2(q^2+r^2)+y^2(p^2+r^2)+z^2(p^2+q^2)-2(pqxy+prxz+qryz)} {(p^2+q^2+r^2)}$

[gris]

так это одно и тоже. Скобки раскройте в квадрате суммы.

[Еленочка]

gris писал(а):

так это одно и тоже. Скобки раскройте в квадрате суммы.

Большое ВАМ спасибо, когда я верхнее уравнение решила относительно $ R^2$ , то у меня все получилось! Обидно что я этого не заметила , еще раз спасибо за подсказку.

Добавлено спустя 2 часа 2 минуты 7 секунд:

Извините меня, но из 70 задач осталась одна, и я наверное из-за цейтнота не могу сосредоточиться и решить её. Прошу помогите.

Показать, что сечение поверхности второго порядка параллельными плоскостями подобны и подобно расположены.

[gris]

Поверхность можно развернуть так, чтобы секущие параллельные плоскости были параллельны плоскости $z=0$.
Тогда все кривые будут описываться уравнением второго порядка относительно $x$ и $y$ c параметром $z$.
Я верую, что они будут подобны (за исключением вырожденных сечений) и подобно расположены!
А каковы признаки подобия для кривых второго порядка?

Добавлено спустя 12 минут 45 секунд:

$a_{11}x^2 +2a_{12}xy+a_{22}y^2 + (2a_{14}+2a_{13}z)x + (2a_{24}+2a_{23}z) y+(a_{44}+a_{13}z^2+a_{34}z) = 0$

[Еленочка]

После преобразования уровнения сечения не зависят от z и будут выражены в общем виде.
Если в уравнениях двух данных действительных нерасподающихся линий второго порядка.

$ a_1_1x^2+2a_1_2xy+a_2_2y^2+2a_1_3x+2a_2_3y+a_2_2$=$0$

$ a_1_1'x^2+2a_1_2'xy+a_2_2'y^2+2a_1_3'x+2a_2_3'y+a_2_2'$=$0$

коэффициенты при членах второго измерения пропорциональны, т.е.

$\frac {a_1_1' }{a_1_1} $=$\frac {a_1_2' }{a_1_2}$=$\frac {a_2_2' }{a_2_2}$

то эти линии гомотетичны; исключение может состовлять случай когда линии гиперболы. В этом случае гиперболы либо гомотетичны, либо одна из них гомотетично с гиперболой, сопряженной с другой.
Вопрос если они гемотетичны значит этого достаточно, что они подобны и подобно расположены?

Второе уровнение для рассмотрения можно взять как проекцию на плоскость XOY, для подобия это ничего не изменит, т.к. система преобразована так, что мы делаем сечения которые параллельны XOY

[gris]

А в нашем случае эти коэффициенты вообще равны.
Отличаются лишь коэффициенты при первых степенях и свободные члены (при изменении $z$). Что означает подобное расположение? Наверное, параллельность осей? Собственно, гомотетия и переводится как подобное расположение.

[Еленочка]

Я согласна с тем, что в нашем случае коэффициенты равны, но в курсе геометрии Н.И. Мусхелешвили в параграфе 285 с.578 просто сказано
"Следующее простое предложение облегчит нам это изучении.
Линии пересечения поверхности второго порядка параллельными плоскостями подобны и , более того, гомотетичны...."тут же говориться, что члены второго измерения при изменениии z=h не зависят от h, коэффициенты при вторых измерениях одинаковы, а это и доказывает наше утверждение.

Но мне кажется, что этого не достаточно, если гомотетичность есть только подобное расположение, а не достаточное условие для подобия сечений

Добавлено спустя 32 минуты 4 секунды:

Я нашла в словаре Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гомотетия (от гомо… и греч. thetos — «расположенный») — один из видов преобразования подобия.

Гомотетией c центром O и коэффициентом k ($k\neq 0$) называют преобразование плоскости (или пространства), переводящее точку X в точку X', обладающую тем свойством, что $\overrightarrow{OX'}$ = $\overrightarrow{kOX}$. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через $H_o^k $.

Подобие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек A, B и их образов A', B' имеет место соотношение | A'B' | = k | AB | , где k — положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Каждая гомотетия является подобием.

Возможно если мы доказали что эти сечения гомотетичны этого достаточно чтобы они были подобны??? ведь условие гомотетичности болеее общее, а подобие рассматривается как частный случай гемотетичности.

[gris]

Наоборот. Подобие - более общий случай. Сами же написали, что гомотетия это один из видов подобия.
Например, если фигуру повернуть на острый угол, то она останется подобной, даже равной исходной. Но не гомотетичной.

[Еленочка]

Так что же получается что этого недостаточно, для подобия?
Я просто думала что если гомотетия связана с векторами, а подобие только с длинами, поэтому я и подумала что векторы более общая составляющая, т.к. они имеют длинну и направление. Подобие характеризуется только длинной.
Получается, что я ошибаюсь?

[gris]

Гомотетия это как доберманы, а подобие - собаки. Каждый доберман собака, но не каждая собака доберман. Из того, что животное доберман следует, что оно собака, но не наоборот.
Так и с гомотетией. По-моему Вы просто перезанимались Отдохните и всё прояснится в голове.
Более общее - это более широкое. Отрезок(свободный) имеет только длину, а вектор - длину да ещё направление.
Два отрезка всегда подобны. Но гомотетичны они только тогда, когда лежат на одной или двух параллельных прямых.
Если фигуры гомотетичны, то они подобны.

[Еленочка]

Я сейчас поняла, наверное этого достаточно, т.к. любая гомотетия является подобием, следовательно более узкое понятие, т.е. как ВЫ (gris) показали что не каждое подобие является гомотетией (я не так выразилась раньше, а теперь я исправила), отсюда следует если сечения гемотетичны то они подобны, т.к. гомотетия более узкое понятие.
Поэтому этого условия достаточно для подобия сечений.

Я права???