диф уравнение

[4arodej]

Тут недавно ученик мне принес уравнение, которое не могу решить пару дней. Если у кого идеи есть, поделитесь: xy'=(x^2+xy-y^2)/(x^2-2xy). И еше: x не лушний при y'

[photon]

4arodej писал(а):

И еше: x не лушний при y'

Переведите, пожалуйста, это примечание.

[Dan_Te]

Возможно, имеется в виду "не лишний", то есть нет ошибки в записи.

[photon]

Тогда непонятно: справа и так дробь - почему не разделить обе части на x?

[Руст]

Умножив на знаменатель получаем квадратное уравнение относительно y.
По видимому есть ещё какое то условие, например надо решать в целых числах.

[lofar]

Ваше уравнение можно переписать в таком виде:

$$ \Bigl( y-\frac{1}{2}x\Bigr) y' = \frac{1}{2x^2}y^2 - \frac{1}{2x}y - \frac{1}{2}. $$

Это уравнение Абеля 2-го рода. С помощью замены $u = \Bigl( y-\frac{1}{2}x\Bigr)e^{\frac{1}{2x}}$ оно приводится к виду:

$$ uu' = -\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2x}}u-\frac{5}{8}e^{\frac{1}{x}}. $$

Насколько я понял, читая справочник Камке, последнее уравнение не подпадает ни под один из случаев в которых известно решение в квадратурах.

[Руст]

А я понял ' как примечание, тем более слово ученик ассоцируется со школой, где не решают дифференциальные уравнения.
Мне кажется для дифура надо попытаться найти интегрирующий множитель.

[Genrih]

Смог лишь немного упростить уравнение.
После замены $y=xy(x)$ приходим к $x(y+xy')=\frac{1+y-y^2}{1-2y}$ или : $x^2y'=\frac{1+(1-x)y+(2x-1)y^2}{1-2y}$.
Или:
$\left (y^2(2x-1)+y(1-x)+1\right) dx + \left(2y-1\right)x^2 dy = 0$. Группируем полные дифференциалы : $d\left(x^2y^2\right) + \left(1+y(1-x)-y^2\right)dx - x^2 dy = 0$ ...

Возможно можно будет найти интегрирующий множитель вида $\mu=\mu(x^2y^2)$

[Ilnur]

Если $x$ лишний, то уравнение получается однородным и легко решается
с помощью подстановки $y=ux$, где $u -- новая неизветная функция.

[MANjak]

Мой результат:

$$x^6 = (1 - \frac{3y} x)^{(2 - \sqrt3)}(1 + \frac{y\sqrt3} x)^{2\sqrt3}$$

[4arodej]

MANjak писал(а):

Мой результат:

$$x^6 = (1 - \frac{3y} x)^{(2 - \sqrt3)}(1 + \frac{y\sqrt3} x)^{2\sqrt3}$$

А можно поподробней?

[AVUS]

если записать уравнение в виде (y^2-xy-x^2)dx+(x^3-2x^2y)dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dF(x,y)=0 то для интегрируемости необходимо P'_y=Q'_x. похоже что нет решения в квадратурах

[V.V.]

AVUS писал(а):

если записать уравнение в виде (y^2-xy-x^2)dx+(x^3-2x^2y)dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dF(x,y)=0 то для интегрируемости необходимо P'_y=Q'_x. похоже что нет решения в квадратурах

Это неправда. Бывает иногда интегрирующий множитель: $Pdx+Qqy=\mu d\Phi$. Соответственно, и критерий интегрируемости другой.