обратная задача теплопроводности

[flamemaker]

Пусть $M$ -- m-мерная ограниченная область с гладкой границей.
Рассмотрим следующую задачу:
$u_t=-\Delta u +f(u)$; $f(y)\in C( \mathbb{R})$ и при всех $y$ $|f(y)|\le c$
$u(t,\partial M)=0,\quad t\ge 0$

Гипотеза: Данная задача имеет оганиченное решение $u(t,x)\in C(\mathbb{R}_+,H^1_0(M))$
Это верно? Это очевидно? Это известно?

[Gafield]

Неверно. Пусть $m=1$, $M=[0,1]$, $f\equiv0$. Поскольку $H_0^1([0,1]) \subset C([0,1])$, то решение, если существует, было бы непрерывно, скажем, в квадрате $[0,1]^2$. Однако, если рассматривать $u$ как решение уравнения теплопроводности, то функция $u(x,0)$ полностью определяется своими значеними при $t=1$ и должна быть аналитической на $(0,1)$. Т.е. в этом частном случае решение есть только для аналитических начальных данных.

Тут и единственность неочевидна. Может, понадобятся какие-то условиях на $f$. А решения тут, возможно, стоит рассматривать для множества начальных данных, всюду плотном в $H_0^1([0,1])$.

[flamemaker]

Gafield писал(а):

Неверно. Пусть $m=1$, $M=[0,1]$, $f\equiv0$. Поскольку $H_0^1([0,1]) \subset C([0,1])$, то решение, если существует, было бы непрерывно, скажем, в квадрате $[0,1]^2$. Однако, если рассматривать $u$ как решение уравнения теплопроводности, то функция $u(x,0)$ полностью определяется своими значеними при $t=1$ и должна быть аналитической на $(0,1)$. Т.е. в этом частном случае решение есть только для аналитических начальных данных.

Тут и единственность неочевидна. Может, понадобятся какие-то условиях на $f$. А решения тут, возможно, стоит рассматривать для множества начальных данных, всюду плотном в $H_0^1([0,1])$.

прошу прощения, действительно очень глупо сформулировал. Исправил.