написать уравнения

[ACbKA7]

помогите написать уравнения прямых, содержащих медиану, высоты, биссектрису треугольника ABC, если А (1;1) , B (2;0) , С ( -1; 4)

очень срочно нужно

я в долгу не останусь

[Brukvalub]

Медиана делит сторону пополам, высота ортогональна стороне, а все точки биссектрисы угла равноудалены от его сторон.Этих свойств Вам хватит для решения задачи.

[vvvv]

Вот как находится уравнение прямой, содержащей высоту т.С.
Остальное уж сами!

[Techno88]

1. Медиана делит сторону, на которую опущена пополам. Ищем середину стороны и составляем уравнение медианы по 2 точкам (найдениую середину и точку из которой она опущена).
2. Высота это перпендикуляр опущенный на одну из сторон. Нужно составить уравнение этой стороны (вид:ax+by+c=0), тогда уравнение высоты будет bx-ay+d=0. Осталось подставить в это уравнение координаты точки из которой опущена высота и найти d.
3. Биссектриса делит угол пополам и как ранее говорилось расстояние от ее до сторон одинаково. Пусть$ \[ a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \]$ - у-е первой стороны, а $\[ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \]$ - у-е второй. Тогда у-е ,биссектриса запишется в следующем виде:$ \[ \frac{{\left| {a_1 x + b_1 y + c_1 } \right|}} {{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 } }} = \frac{{\left| {a_2 x + b_2 y + c_2 } \right|}} {{\sqrt {a_2^2 + b_2^2 } }} \]$
Осталось только определиться со знаками открывающихся модулей

[Алексей К.]

Techno88 писал(а):

3. Медиана делит угол пополам и как ранее говорилось расстояние от ее до сторон одинаково. Пусть ...
Тогда у-е медианы запишется в следующем виде:

Здесь автор явно имел в виду биссектрису, а не медиану.

[Techno88]

да чет я описался. исправил.

[Алексей К.]

Techno88 писал(а):

Тогда у-е медианы запишется в следующем виде:$ \[ \frac{{\left| {a_1 x + b_1 y + c_1 } \right|}} {{\sqrt {x^2 + y^2 } }} = \frac{{\left| {a_2 x + b_2 y + c_2 } \right|}} {{\sqrt {x^2 + y^2 } }} \]$

Исправили, да не до конца... И ещё ошибочка --- в знаменателях должны быть $\sqrt{a^2_{1,2}+b^2_{1,2}}$ (а не $\sqrt{x^2+y^2}$).
---------------------
Синсерели, А.К. Занудов.

[Techno88]

теперь все???)))

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

...а все точки биссектрисы угла равноудалены от его сторон.

Уравнение биссектрисы проще вывести напрямую из её определения (делит угол пополам), не привлекая свойство равноудалённости от сторон. Угол же (точнее, его косинус) легко находится через скалярное произведение.

[Techno88]

ну и напиши как это вывести у-е через косинус.Для конкретно нашего случая: АВ = (1;-1) , АС = (-2;3) ; AN - пусть биссектриса.

[Профессор Снэйп]

Techno88 писал(а):

ну и напиши как это вывести у-е через косинус.

Вообще-то здесь запрещено выкладывать полные решения. А указание я дал более чем достаточное.

Подумайте немного и Вы поймёте, что это очень просто

[Techno88]

нет мне просто интересно. ну найду я косинус угола между АВ и АС. Найду косинус угла между АВ(или АС) и AN и что дальше то?)

[Профессор Снэйп]

Techno88 писал(а):

нет мне просто интересно. ну найду я косинус угола между АВ и АС. Найду косинус угла между АВ(или АС) и AN и что дальше то?)

А Вы систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными решать умеете?

[Techno88]

да с утра умел. из чего составляется эта система?

Добавлено спустя 21 минуту 19 секунд:

Если $\[ AB:a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \]$, $\[ AC:a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \]$, а $\[ AN:a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \]$-биссектриса , то первое уравнение из этой системы выглядит так:
$\[ \frac{{a_1 a_3 + b_1 b_3 }} {{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 } \sqrt {a_3^2 + b_3^2 } }} = \frac{{a_2 a_3 + b_2 b_3 }} {{\sqrt {a_2^2 + b_2^2 } \sqrt {a_3^2 + b_3^2 } }} \]$???

[Профессор Снэйп]

Techno88 писал(а):

да с утра умел. из чего составляется эта система?

Да там, если разобраться, даже система не нужна. Неужели абсолютно всё расжёвывать надо?

Давайте, к примеру, найдём биссектрису угла $A$.

Имеем $\overrightarrow{AB} = (1,-1)$, $\overrightarrow{AC} = (-2,3)$. Пусть $v = (x,y)$ --- координаты вектора, вдоль которого направлена биссектриса. Тогда

$$ \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot v|}{|\overrightarrow{AB}| |v|} = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot v|}{|\overrightarrow{AC}| |v|} $$

откуда $|x-y|/\sqrt{2} = |-2x+3y|/\sqrt{13}$ и

$$ \frac{x}{y} = \frac{\sqrt{13}+3\sqrt{2}}{\sqrt{13}+2\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{26}}{5} $$

или

$$ \frac{x}{y} = \frac{\sqrt{13}-3\sqrt{2}}{\sqrt{13}-2\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{26}}{5} $$

в зависимости от того, какие знаки имеют выражения под модулями. Поскольку направляющий вектор прямой задан с точностью до умножения на константу, то $v = (1+\sqrt{26}, 5)$ либо $v = (1-\sqrt{26}, 5)$. А вот тут уже надо смотреть, какой их двух векторов выбрать. Это можно сделать по рисунку, хотя есть и численные методы (связанные с понятием векторного произведения). Нарисовав вектора $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, видим, что подходит второй вариант. Так что $v = (1-\sqrt{26},5)$ и искомая биссектриса имеет уравнение $(1+\sqrt{26})(x-1) + 5(y-1) = 0$. Вот и всё