2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 функциональное уравнение, f:Q->Q
Сообщение06.01.2009, 18:59 
Аватара пользователя
Найти все функции $f: Q^{+} \to Q^{+} $ чтобы $ f(x)+ f(1/x)=1 $ и $ f(2x)=2f(f(x))$ для любого $ x \in Q^{+}$

Добавлено спустя 1 час 38 минут 51 секунду:

Исследовать на непрерывность функцию:
$y= \lim\limits_{ n \to \infty} \left[ x \arctg \left ( n \ctg x \right) \righ]}$

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 20:02 
Аватара пользователя
daogiauvang в сообщении #174397 писал(а):
Найти все функции $f: Q^{+} \to Q^{+} $ чтобы $ f(x)+ f(1/x)=1 $ и $ f(2x)=2f(f(x))$ для любого $ x \in Q^{+}$


Вроде бы по индукции доказывается, что $f(\frac{m}{n})=\frac{m}{m+n}$ ($m$ и $n$ --- натуральные).
База индукции: m=n=1.
Индукционный переход: если утверждение верно для всех $m$, $n$, таких, что $m+n\leqslant K$, то оно получается верным и для всех $m$, $n$, таких, что $m+n=K+1$. Выкладки делал на бумажке, лень перепроверять.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 22:59 
Аватара пользователя
daogiauvang в сообщении #174397 писал(а):
Исследовать на непрерывность функцию:
$y= \lim\limits_{ n \to \infty} \left[ x \arctg \left ( n \ctg x \right) \righ]}$

Выпишите функцию в явном виде, вычислив предел.

 
 
 
 
Сообщение09.01.2009, 11:48 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
daogiauvang в сообщении #174397 писал(а):
Исследовать на непрерывность функцию:
$y= \lim\limits_{ n \to \infty} \left[ x \arctg \left ( n \ctg x \right) \righ]}$

Выпишите функцию в явном виде, вычислив предел.

как написать в явном виде????

 
 
 
 
Сообщение09.01.2009, 12:01 
Аватара пользователя
daogiauvang в сообщении #175355 писал(а):
как написать в явном виде????

Brukvalub в сообщении #174565 писал(а):
вычислив предел.

 
 
 
 
Сообщение09.01.2009, 12:54 
Аватара пользователя
Вот бы запредельное выражение возвести в квадрат...
Интересно, а точка устранимого разрыва считается за точку непрерывности? В случае доопределения, а не переопределения.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group