Полиэдральные множества, вершины и крайние точки

[Techno88]

Здравствуйте!!! помогите пожалуйста с доказательством следующего утверждения: Множество вершин и множество крайних точек полиэдрального множества совпадают

Добавлено спустя 2 часа 22 минуты 21 секунду:

что ни у кого никаких идей? а кто нибудь может хотя бы дать конкретное определение крайних точек и вершин полиэдрального множества.

[Хорхе]

Мне б тоже хотелось узнать, что такое вершины. Крайние точки -- это те точки $A$, которые не представимы в виде $\alpha x + (1-\alpha) y$, $x,y\in A$, $x\neq y$, $\alpha\in (0,1)$.

[Techno88]

а это определение крайних точек справедливо и для не выпуклых множеств?
и может ли полиэдральное множество быть не выпуклым?

[gris]

Полиэдральное множество всегда выпукло. Просто есть еще теория дискретных выпуклых множеств. Там другие немного определения. А для непрерывных множеств крайние точки будут и вершинами.
Если определению Хорхе придать некую наглядность, то через крайнюю точку нельзя провести даже крошечный отрезок(без концов) прямой, который принадлежит множеству.
А, например, для невыпуклого многоугольника это не работает. Через "впуклую" вершину можно провести отрезок, принадлежащий многоугольнику.

Добавлено спустя 16 минут 54 секунды:

Внезапно обнаружил, что если полиэдр определяется как объединение, а не пересечение, выпуклых многогранников, тогда он, конечно, может быть и невыпуклым.

[Хорхе]

Techno88 писал(а):

а это определение крайних точек справедливо и для не выпуклых множеств?
и может ли полиэдральное множество быть не выпуклым?

Да, это для выпуклых. Для невыпуклых я не знаю определения. Честно говоря, я даже не знаю, что такое "полиэдральное множество". Но мне кажется, что оно выпукло по определению.

[Techno88]

полиэдральным множеством Q в пространстве

\[ E^n \]

называют подмножество

\[ Q \subseteq E^n \]

, полученное пересечение конечного числа замкнутых полупространств.

[Brukvalub]

Итак, полиэдральное множество в

\[ E^n \]

задается системой неравенств вида: \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\vec a_1 \cdot \vec x \le \vec b_1 } \\ . \\ . \\ . \\ {\vec a_m \cdot \vec x \le \vec b_m } \\ \end{array}} \right\]

Вершины определяются тем условием, что некоторые подсистемы уравнений из соответствующей системы:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\vec a_1 \cdot \vec x = \vec b_1 } \\ . \\ . \\ . \\ {\vec a_m \cdot \vec x = \vec b_m } \\ \end{array}} \right\]

имеют единственное решение. Вот и попробуйте связать эти факты с определением крайних точек.

[Techno88]

еще идеи есть?