Операторы: нахождение сопряженного и различных характеристик

[merlin]

Для сдачи экзамена по ФАНу требуется научиться находить сопряженный к оператору, а также находить собственные значения, спектр,резольвенту, нулевое множество оператора,его ограниченность. К сожелению по книге по которой мы учимся приведены только простейшие операторы. Может кто подскажет какую нить литературу по которой это можно научиться делать. Или поделится опытом

Для примера. A(x)=(x,a)b+(x,c)(b,a)c . (c,a)=(c,b)=0.

Норма a,b и с равны еденице
Требуется
1) Доказать ограниченность
2) Найти нулевое множество и образ оператора
3) Вычислить норму опепатора
4) Найти сопряженный
5)Показать что I-A ортоганальная проекция тогда и только тогда если a=b
На кокое множество проектирует оператор I-A при условии что a=b
6) Найти резольвенту и все регулярные значения

[id]

Стандартный задачник по Функ. Анализу - это Кириллов, Гвишиани, "Теоремы и задачи функционального анализа".

Вы бы только для начала сформулировали задачу корректно. Где, скажем, указание о том, что $A(x)$ действует в гильбертовом?

1) Воспользуйтесь неравенством Коши-Буняковского, по определению получите оценку для $|| Ax ||$ и ограниченность.
2) $(c,b)$ = 0, то есть слагаемые будут линейно независимы. Значит, чтобы оператор аннулировал некоторый вектор, должны аннулироваться оба слагаемых.

[merlin]

Ну да оператор действует из H в H (H - гильбортово.)

[ewert]

3). Докажите, что $\Vert Ax\Vert=|(x,a)|^2+|(x,c)|^2|(b,a)|^2\leqslant\Vert x\Vert^2,$ откуда $\Vert A\Vert\leqslant1.$ Затем докажите, что фактически $\Vert A\Vert=1$ (т.е. что единица достигается на некотором элементе).

4). Вспомните (или докажите -- это легко), что оператором, сопряжённым к $(\,\cdot\,,a)\,b$, будет $(\,\cdot\,,b)\,a$.

5). Между прочим, единичный оператор сюда засунули исключительно для запудривания мозгов: операторы $(I-A)$ и $A$ являются или не являются ортопроекторами одновременно. Так что лучше говорить просто об $A$.
Так вот. Ортопроектор -- прежде всего самосопряжён. Докажите, что (с учётом предыдущего пункта и равенства $\Vert a\Vert=\Vert b\Vert$) это возможно лишь при $a=\pm b$ (надо ещё учесть линейную независимость слагаемых в определении оператора $A$).
Потом докажите, что при $a=b$ это и впрямь ортопроектор (и отметьте, на какое подпространство), а при $a=-b$ -- соответственно, нет (т.к. выйдет минус ортопроектор).

6). Чего-то устал.
Ну, короче, докажите, что собственными числами являются только $\lambda=0$ и $\lambda=(b,a)$, а все остальные точки -- регулярные.