Задачка по уравнением Лангранжа

[merlin]

A fixed smooth circular ring, centre O and radius R, is placed in a vertical plane. Along
the ring and in the plane of the ring a homogeneous rod AB, mass m, length 2l can move.
The centre C of the rod AB is in contact with the ring, while AB is tangent to the ring. The
acceleration of gravity is g.
At t = 0, AB is horizontal and C has a negligibly small initial velocity.

Фиксированное гладкое круглое кольцо, центр O и радиусом R, размещается в вертикальной плоскости. Вдоль кольца, и в плоскости кольца может двигатся однородный стержень АВ, массой м, длиной 2L
Центр С стержня AB находится в контакте с кольцом, а AB является касательной к кольцу.
ускорение свободного падения g.
При Т = 0, AB является горизонтальным и C имеет ничтожно малую начальную скорость.


Нужно найти потенциальную и кинетическую энергию а также уравнения движения.

Степеней свободы -1.
Насколько я понимаю нужно сначала выбрать обобщенные координаты. Я взял угол. \varphi.
И кинетическая энергия будет равно

ml^{2}\phi'^{2}/6
Поправьте если что не так

[Парджеттер]

merlin в сообщении #174143 писал(а):

A fixed smooth circular ring, centre O and radius R, is placed in a vertical plane. Along
the ring and in the plane of the ring a homogeneous rod AB, mass m, length 2l can move.
The centre C of the rod AB is in contact with the ring, while AB is tangent to the ring. The acceleration of gravity is g.

At t = 0, AB is horizontal and C has a negligibly small initial velocity.

А какой мистический смысл в написании условия на английском? Для выпендрежа? Я-то, например, понимаю, что там написано, но, наверное, есть и те, кто не поймут. Я к тому, что если условие было бы написано на русском, то было бы больше шансов, что вам ответят по делу.

[merlin]

Как задали так и пишу.

[Парджеттер]

merlin в сообщении #174153 писал(а):

Как задали так и пишу.

Я вам просто дал совет.

[Danila88]

Кин. энергия состоит из двух частей: кин. энергии "скольжения", кин энергии вращения относ ц.м:

$E_k=\frac {mx'^2} 2+\frac {Y\Omega^2} 2$
$x=R(1-\cos\varphi)$
$\Omega=\dot\omega$
где:
$Y$- момент инерции стержня относит. ц.м
$\varphi$-угол поворота кольца
$\omega$- угол поворота стержня относ. ц.м (надо выразить через $\varphi$)

Потен. энергия:
$E_p=-mgR\cos\varphi$

Лагранжиан системы:
$L=E_k-E_p$
Подставляя в уравнение Эйлера-Лагранжа, получим уравнение движения.
(Схема такая, правильность проверьте)

[merlin]

А может просто $x=R\cos\varphi$ и $\Omega=\dot\varphi$ ?

[Danila88]

merlin писал(а):

А может просто $x=R\cos\varphi$ и $\Omega=\dot\varphi$ ?

Насчёт $\Omega$- я не устанавливал соотношения:

Цитата:

$\omega$- угол поворота стержня относ. ц.м (надо выразить через $\varphi$ )

,
насчёт $x$-мы имеем то, что имеем...(надо смотреть, куда направлена "координатная" ось, надо смотреть, чему равна потенциальная энергия.)

[merlin]

То что $\Omega=\dot\varphi$ мне кажется следует из другого вопроса к этой задаче -
Determine the angular velocity and the angular acceleration of AB ($\dot\varphi$ and $\ddot\varphi$), respectively,
as function of the angle $\varphi$ that OC makes with the vertical through O.

Определить угловую скорость и угловое ускорение AB ($\dot\varphi$ и $\ddot\varphi$) как функцию угла $\varphi$ который OC делает вертикально вокруг O.
То есть $e_{\varphi$ будет напрвлен из O вертикально вверх.
И из этого $x=R\cos\varphi$ ?

[Danila88]

$x$-смещение стержня вдоль вертикали-вниз (всего-то)
Поправка:
$E_p=-mgx$

[merlin]

если x смещение стержня вдль вертикали то как вы сказали $x=R(1-\cos\varphi$)
и $\dot{x}=R\sin\varphi$.
И тогда лангранжинан L будет равен кинетической энергии минус потенцеальная энергия.
L = K - P

[Danila88]

Danila88 писал(а):

Подставляя в уравнение Эйлера-Лагранжа, получим уравнение движения.

[merlin]

$\frac{d}{dt}$ ($\frac{dL}{\dot\varphi}$) - $\frac{dL}{\varphi}$ =0 Вроде так
А скорость будет выражаться через $v=\frac{dx}{d\varphi}$$\dot\varphi + \frac{dx}{dt}$ =
$2R\sin\varphi$ $\dot\varphi$ ?