2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Общий вид матричного корня из нуля
Сообщение05.01.2009, 22:30 
Надо найти общий вид матрицы 3х3 которая дает при умножении саму на себя нулевую матрицу, желательно найти общий вид всех таких матриц.
Я знаю аналогичний вид для матрицы 2х2 но увы доказать тоже но получается.

 
 
 
 
Сообщение05.01.2009, 22:57 
Аватара пользователя
Тут главное понять, какая у неё нормальная форма.

 
 
 
 
Сообщение05.01.2009, 22:58 
Аватара пользователя
Ну а в чём проблема? Любую матрицу можно привести к жордановой форме (над $\mathbb{C}$). Отсюда и критерий:

1) Все собственные значения нулевые.
2) Максимальный размер жордановой клетки не превышает двойки.

Соответственно общий вид матрицы следующий: нулевая матрица и матрицы вида

$$
T
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
T^{-1}
$$

где $T$ --- произвольная матрица размера 3 на 3 со свойством $\mathrm{det}(T) \neq 0$.

P. S. Если вместо квадрата поставить куб (то есть потребовать, чтобы не квадрат, а куб матрицы был нулевой), то к указанным матрицам добавятся ещё матрицы вида

$$
T
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
T^{-1}
$$

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 10:17 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):
где $T$ --- произвольная матрица размера 3 на 3 со свойством $\mathrm{det}(T) \neq 0$.

чтобы не казалось, что таких матриц очень много, можно это условие заменить на $ \mathrm{det}(T)=1$ :)

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 12:45 
О спасибо. А как бы доказать это?

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 14:13 
Аватара пользователя
Nerazumovskiy писал(а):
О спасибо. А как бы доказать это?


ИСН писал(а):
Тут главное понять, какая у неё нормальная форма.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group