Общий вид матричного корня из нуля

[Nerazumovskiy]

Надо найти общий вид матрицы 3х3 которая дает при умножении саму на себя нулевую матрицу, желательно найти общий вид всех таких матриц.
Я знаю аналогичний вид для матрицы 2х2 но увы доказать тоже но получается.

[ИСН]

Тут главное понять, какая у неё нормальная форма.

[Профессор Снэйп]

Ну а в чём проблема? Любую матрицу можно привести к жордановой форме (над $\mathbb{C}$). Отсюда и критерий:

1) Все собственные значения нулевые.
2) Максимальный размер жордановой клетки не превышает двойки.

Соответственно общий вид матрицы следующий: нулевая матрица и матрицы вида

$$ T \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) T^{-1} $$

где $T$ --- произвольная матрица размера 3 на 3 со свойством $\mathrm{det}(T) \neq 0$.

P. S. Если вместо квадрата поставить куб (то есть потребовать, чтобы не квадрат, а куб матрицы был нулевой), то к указанным матрицам добавятся ещё матрицы вида

$$ T \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) T^{-1} $$

[Хорхе]

Профессор Снэйп писал(а):

где $T$ --- произвольная матрица размера 3 на 3 со свойством $\mathrm{det}(T) \neq 0$.

чтобы не казалось, что таких матриц очень много, можно это условие заменить на $ \mathrm{det}(T)=1$

[Nerazumovskiy]

О спасибо. А как бы доказать это?

[Хорхе]

Nerazumovskiy писал(а):

О спасибо. А как бы доказать это?

ИСН писал(а):

Тут главное понять, какая у неё нормальная форма.