Интеграл (решилось по частям)

[ngc1309]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, найти интеграл

$ \int_{0}^{r} e^{-ax^2}\cos(b+x^2+\arctg c)xdx $

a, b, c - константы

Заранее, спасибо!

[ИСН]

Зачем Вы принесли сюда это мусорное ведро с арктангенсом, если он - всё равно константа? Как говорят на программерских форумах, дайте минимальный проблемный код.
А так-то дальше - x под дифференциал, и...

[Danila88]

$xdx=\frac{1}{2}dx^2$, затем интегрировать по частям (скорее всего, 2-3 раза...)

[ngc1309]

Просто хотелось показать во всей красе Больше не буду

СПАСИБО за советы, буду их придерживаться!

[ngc1309]

Возник вопрос: при интегрировании по частям, cos принимаю за dv, а e за u. Получается выражение типа:

$ \cos[x]e^x - \int_{0}^{r}e^xsinxdx $

по сути опять получился интеграл от произведения е на тригонометрическую функцию. Как быть?

[Brukvalub]

ngc1309 в сообщении #173918 писал(а):

Как быть?

Двукратное применение интегрирования по частям приводит к уравнению на искомый интеграл.

[ngc1309]

т.е. он не решабельный?

[Danila88]

ngc1309 писал(а):

т.е. он не решабельный?

Решабельный, решабельный...


$I_0=e^xcos{x}-I_1$
После второго интегрирования по частям, у Вас получится что-то вроде:
$I_1=....+I_0$

$2I_0=e^xcos{x}+....$


(как указано ранее)

[Хорхе]

Есть и другой, "научный" метод:

$$\gathered I_0 + i I_1= \int e^x (\cos x+i\sin x)\, dx = \int e^{x(1+i)}\, dx = \\ = \frac{e^{x(1+i)}}{1+i} +C = \frac{e^x}2 \big((\cos x+ \sin x) + i(\sin x - \cos x) \big) +C \endgathered $$

[ИСН]

Есть и третий, "ленивый" метод: зная всё вышеописанное, сразу искать его в виде $e^x(A\sin x+B\cos x)$ (продифференцировать и подогнать коэффициенты).

[Brukvalub]

Есть и четвертый метод: находить сразу два интеграла - с синусом и с косинусом, в обоих один раз перейти по частям и решить полученную линейную систему относительно нужного интеграла.

[ngc1309]

Ага! Так понятно! Спасибо огромное!!
Правда я предвидел ответ немного с другой стороны, несколько сложнее. Дело в том, что это задача об интерференции двух Гауссовых пучков. И интеграл в первом сообщении-упрощенная запись полного светового потока, котороый мне и нужен (упростил, не став расписывать коэфф. a, b и c). Так вот, хода всего вывода нет. Есть изначальная формула и потом сказано, что один из коэффициентов в ответе (расписан) ответственен за то-то. И он гораздо сложнее, получающегося у нас решения! Вот собственно хотел с этим и разобраться.