Суммирование рядов

[nikov]

Есть у меня хобби: вычислять в замкнутой форме суммы рядов, с которыми не справляются системы компьютерной алгебры (например, Mathematica). Например, сегодня удалось установить такие равенства:

$$\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n \Gamma \left(n+\frac{1}{3}\right) H_{-n-\frac{1}{3}}}{\Gamma (n+1)}=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right) \left(\pi \sqrt{3} -6 \ln 2-9 \ln 3\right)}{6 \sqrt[3]{2}}$$

$$\sum _{n=2}^{\infty } \left(\frac{1}{2} H_{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}+\frac{1}{2} H_{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+(\zeta (n)-1) \zeta (2 n+1)+\frac{\zeta (3) - 1}{n}-1\right)=1$$

$$\sum _{k=2}^{\infty } \left(\frac{\pi \ctg \left(\frac{\pi }{\sqrt{k}}\right)}{2 \sqrt{k}}+(\zeta (k)-1) \zeta (2 k)+\frac{\pi ^2}{6 k}-\frac{1}{2}\right)=0,$$

где $H_n$ - гармоническое число (вычисляется функцией HarmonicNumber в Mathematica, $\zeta (n)$ - дзета-функция Римана.

Вопрос: имеет ли смысл публиковать где-то эти результаты? Представляют ли они какой-нибудь интерес?

[Руст]

Возможно представляют.
А что понимается под $H_a$ для нецелого a?
По видимому $H_a=\sum_{0\le i<a} \frac{1}{a-i}$.

[nikov]

Руст писал(а):

А что понимается под $H_a$ для нецелого a?

Гармоническое число обобщается на комплексные числа:

$$H_z=\frac{\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z +1)}+\gamma,$$

где $\gamma$ - постоянная Эйлера-Маскерони. Вот еще интересные суммы:

$$\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n \Gamma \left(n+\frac{1}{4}\right) H_{-n-\frac{1}{4}}}{\Gamma (n+1)}=2^{3/4} \Gamma \left(\frac{5}{4}\right) (\pi -8 \ln 2)$$

$$\sum _{k=0}^{\infty } (-4)^{-k} \left(H_{\frac{k-1}{2}}-H_{\frac{k}{2}}\right)=\frac{8}{3}\ln 5 - 8 \ln 2$$

А где их публиковать?

[maxal]

nikov
Для начала проверьте на http://mathworld.com не являются ли ваши тождество чем-то известным (например, если их выразить через гипергеометрические функции и т.п.)

А опубликовать можно для начала в качестве препринта на http://arxiv.org

[Gordmit]

Впечатляющие формулы. У Рамануджана было похожее хобби.
Мое мнение некомпетентно, но если результаты новые, то думаю стоит послать в Ramanujan Journal.