Теория веротности

[kerz-3-06]

Проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха p, неудачи - q до двух успехов подряд. Надо найти вероятность того, что кол-во испытаний четное?

[Парджеттер]

В чем возникли затруднения?

Начнем с того, что такое испытания по схеме Бернулли?

[kerz-3-06]

решить надо по-быстрее просто) испытания бернулли это независимые испытания с определенными вероятностями успеха и неудачи.. теорема пуассона, муавра-лапласа - все это известно. не ясно только, что именно и как применять к данной задаче?

[Парджеттер]

Напишите вероятность того, что будет два успеха подряд.

[kerz-3-06]

p^2, где p -вероятность успеха?

[--mS--]

А теперь вероятность того, что только к 4-му испытанию (а не раньше) получились два успеха подряд.

[kerz-3-06]

$C_2^1 *(p^2)*(1-p^2) ?$

P.S. нет, похоже это не так) не подскажете с помощью чего это считать?:

[--mS--]

Наверное, просто выяснить, какие результаты четырёх испытаний удовлетворяют данному событию, и сосчитать вероятность.

[midorya]

К четвертому испытанию два успеха - $qp^2$. Непонятно, как это можно аккуратнее обобщить.

[--mS--]

Ну, наверное, лучше всего формулой полной вероятности связать искомую вероятность с дополнительной до единицы вероятностью того, что испытания закончатся на нечётном шаге. Полную группу событий стоит ввести по результату первого-второго испытания: либо в первом неудача, либо в первых двух (успех, неудача), либо (успех, успех).

[midorya]

$B_1$ - первое испытание неудача
$B_2$ - первые два испытания успех-неудача
$B_3$ - первые два испытания успех-успех
$A$ - количество испытаний четно
Тогда

$$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + P(A|B_3)P(B_3) = (1-P(A))q + P(A)pq + p^2$$

$$P(A) = \frac{q + p^2}{1+q-pq}$$

Где здесь ошибка?

[antbez]

А на мой взгляд, тут надо решать по формуле Байеса!

[--mS--]

midorya писал(а):

$$P(A) = \frac{q + p^2}{1+q-pq}$$

Где здесь ошибка?

А почему Вы думаете, что здесь ошибка? Вполне разумный ответ.

[TOTAL]

--mS-- писал(а):

midorya писал(а):

$$P(A) = \frac{q + p^2}{1+q-pq}$$

Где здесь ошибка?

А почему Вы думаете, что здесь ошибка? Вполне разумный ответ.

Интересно, что при $p=0$ ответ становится не разумным.

[--mS--]

TOTAL писал(а):

--mS-- писал(а):

midorya писал(а):

$$P(A) = \frac{q + p^2}{1+q-pq}$$

Где здесь ошибка?

А почему Вы думаете, что здесь ошибка? Вполне разумный ответ.

Интересно, что при $p=0$ ответ становится не разумным.

Естественно. При $p=0$ вероятности событий "на чётном" и "на нечётном" перестают давать единицу в сумме, так что и этот ответ, и это решение в этом случае не годится. Нет в нуле непрерывности у $\mathsf P(A)$. Тем не менее при $p\to+0$ ситуация симметризуется: вероятность и того, и другого события должна приближаться к 1/2, что она и делает.