Универсальная накрывающая группы SL(2,C)

[x0rr]

Какова универсальная накрывающая для группы $SL(2,\mathbb{C})$?
есть ли какой-нибудь рецепт её вычисления

[Аурелиано Буэндиа]

x0rr писал(а):

Какова универсальная накрывающая для группы $SL(2,\mathbb{C})$?
есть ли какой-нибудь рецепт её вычисления

Непонятно. Группа $SL(2,\mathbb{C})$ уже является односвязанаой, поэтому непонятно что Вы понимаете под универсальным накрытием. В свою очередь группа $SL(2,\mathbb{C})$ сама является универсальной накрывающей для собственной ортохронной группы $\mathscr{P}^{\uparrow}_{+}$

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

x0rr писал(а):

Какова универсальная накрывающая для группы $SL(2,\mathbb{C})$?
есть ли какой-нибудь рецепт её вычисления

Непонятно. Группа $SL(2,\mathbb{C})$ уже является односвязанаой, поэтому непонятно что Вы понимаете под универсальным накрытием.

Ну, это означает, что она сама и является своей собственной универсальной накрывающей.

[x0rr]

спасибо, я понял основную мысль
о накрытии имеет смысл говорить только в случае неодносвязных многообразий типа тора
кстати, тогда еще вопрос, является ли неориентируемость тоже фактом, когда стоит говорить о накрытии?

[x0rr]

Аурелиано Буэндиа

Цитата:

сама является универсальной накрывающей для собственной ортохронной группы

уж не группы ли Лоренца? ))

[Someone]

x0rr писал(а):

спасибо, я понял основную мысль
о накрытии имеет смысл говорить только в случае неодносвязных многообразий типа тора
кстати, тогда еще вопрос, является ли неориентируемость тоже фактом, когда стоит говорить о накрытии?

Формально о накрытии можно говорить всегда. Только в односвязном случае накрытие будет тривиальным.

[Аурелиано Буэндиа]

x0rr писал(а):

уж не группы ли Лоренца? ))

Да, только не всей, а одной связной компоненты.

[x0rr]

в смысле, если 1-параметрическая подгруппа?

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Да, только не всей, а одной связной компоненты.

x0rr писал(а):

в смысле, если 1-параметрическая подгруппа?

Связная компонента - наибольшее (по включению) связное подмножество. К количеству параметров (образующих) это отношения не имеет.

[x0rr]

Someone
понятно, спасибо

Аурэлиано
а сколько связных компонент у группы Лоренца?

[Аурелиано Буэндиа]

x0rr писал(а):

в смысле, если 1-параметрическая подгруппа?

Как абсолютно правильно сказал Someone число параметров может быть разным. Попробую Вам объяснить. Группу Лоренца $O(1,3)$ (как многообразие) можно разбить на 2-е части собственную $\mathscr{P}_{+}=SO(1,3)$ и несобственную, для которой $\hbox{det}(g)=-1$ обозначим её как $\mathscr{P}_{-}$. В итоге имеем $O(1,3)=\mathscr{P}_{+}\bigcup\mathscr{P}_{-}$ Замечу, что $\mathscr{P}_{-}$ не образует группы поскольку не включает единицу. Идем дальше. Компонента $\mathscr{P}_{+}$ не является связной. Продемонстрирую на более простом примере $SO(1,1)$ имеем два типа преобразований

$$ \left( \begin{array}{cc} \pm \hbox{ch}\alpha & \hbox{sh}\alpha \\ \hbox{sh}\alpha & \pm \hbox{ch}\alpha \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x^0 \\ x^1 \\ \end{array} \right), \ \ \ \alpha\in R^1. $$

Эти преобразования удовлетворяют $\hbox{det} (g)=1$ и образуют 2-а непересекающихся множества. Первое (знак +) преобразование называется ортохронным (в силу того, что не меняет знака величины $x^0$, которое в физике имеет смысл времени), а второе преобразование неортохронным. Поэтому имеем 2-е несвязные компоненты $\mathscr{P}_{+}^{\uparrow}$ и $\mathscr{P}_{+}^{\downarrow}$. Таким образом имеем четыре несвязных компоненты( В случае $SO(1,3)$ добавление $SO(3)$ ничего не меняет, поскольку $SO(3)$ - связная группа).
Так вот группа $SL(2,\mathbb{C})$ накрывыает именно $\mathscr{P}_{+}^{\uparrow}$.