AndreyXYZ писал(а):
Что такое

? Максимальный идеал --- это идеал максимальной мощности?

, надо полагать, это коммутативное кольцо с единицей.
А максимальный идаеал

- это такой идеал, отличный от

, что не существует идеала

такого, что

(включения строгие).
Докаказательство в обе стороны легкое.
Например, в одну сторону:
Пусть
![$[a]$ $[a]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/f/e6faf1ef3b2cd6f5098b756495adef3d82.png)
элемент факторкольца (т.е. класс вычетов по идеалу

), отличный от
![$[0]$ $[0]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/c/0dcd521027721a565aee5d6de1ac5ac982.png)
, тогда

, тогда идеал, порожденный

и

совпадает с

, откуда сразу следует обратимость
![$[a]$ $[a]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/f/e6faf1ef3b2cd6f5098b756495adef3d82.png)
.