2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Идеалы и поля
Сообщение27.12.2008, 13:30 
Аватара пользователя
Показать,что коли $R/M$ - поле,то $M$ - максимальный идеал и обратно,если $M$ - максимальный идеал $R$,то $R/M$ - поле.

 
 
 
 
Сообщение27.12.2008, 13:41 
Аватара пользователя
Что такое $R$? Максимальный идеал --- это идеал максимальной мощности?

 
 
 
 
Сообщение27.12.2008, 14:08 
AndreyXYZ писал(а):
Что такое $R$? Максимальный идеал --- это идеал максимальной мощности?

$R$, надо полагать, это коммутативное кольцо с единицей.
А максимальный идаеал $M$ - это такой идеал, отличный от $R$, что не существует идеала $J$ такого, что $M\subset J\subset R $ (включения строгие).
Докаказательство в обе стороны легкое.
Например, в одну сторону:
Пусть $[a]$ элемент факторкольца (т.е. класс вычетов по идеалу $M$), отличный от $[0]$, тогда $ a \notinM $, тогда идеал, порожденный $M$ и $a$ совпадает с $R$, откуда сразу следует обратимость $[a]$.

 
 
 
 
Сообщение28.12.2008, 07:28 
Аватара пользователя
VAL писал(а):
$R$, надо полагать, это коммутативное кольцо с единицей.


Кстати, единица не важна. Если даже $R$ --- ассоциативное коммутативное кольцо без единицы, а $M$ --- максимальный идеал в $R$, то $R/M$ --- поле. Так как для любого не нулевого $x \in R/M$ справедливо $x \cdot (R/M) = R/M$, то единица в $R/M$ появляется. См. сюда.

А вот ассоциативность $R$ похоже что важна. Зря Вы про неё не упомянули.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group