Идеалы и поля

[Alexiii]

Показать,что коли $R/M$ - поле,то $M$ - максимальный идеал и обратно,если $M$ - максимальный идеал $R$,то $R/M$ - поле.

[AndreyXYZ]

Что такое $R$? Максимальный идеал --- это идеал максимальной мощности?

[VAL]

AndreyXYZ писал(а):

Что такое $R$? Максимальный идеал --- это идеал максимальной мощности?

$R$, надо полагать, это коммутативное кольцо с единицей.
А максимальный идаеал $M$ - это такой идеал, отличный от $R$, что не существует идеала $J$ такого, что $M\subset J\subset R $ (включения строгие).
Докаказательство в обе стороны легкое.
Например, в одну сторону:
Пусть $[a]$ элемент факторкольца (т.е. класс вычетов по идеалу $M$), отличный от $[0]$, тогда $ a \notinM $, тогда идеал, порожденный $M$ и $a$ совпадает с $R$, откуда сразу следует обратимость $[a]$.

[Профессор Снэйп]

VAL писал(а):

$R$, надо полагать, это коммутативное кольцо с единицей.

Кстати, единица не важна. Если даже $R$ --- ассоциативное коммутативное кольцо без единицы, а $M$ --- максимальный идеал в $R$, то $R/M$ --- поле. Так как для любого не нулевого $x \in R/M$ справедливо $x \cdot (R/M) = R/M$, то единица в $R/M$ появляется. См. сюда.

А вот ассоциативность $R$ похоже что важна. Зря Вы про неё не упомянули.