Гипотеза 3n+1

[Sonic86]

В теме "Задача 3n+1" обобщать задачу запретили поэтому пишу здесь.

Имеются следующие примитивные измышления.
Пусть на $\mathbb{Z}$ задано отображение $f(n)$ такое, что когда $n$ четно, тогда $f(n)=n/2$, а когда $n$ нечетно, то $f(n)=an+b$, где $a,b$ - нечетны, $a>0$. Рассмотрим цепочку образов $n \to n_2 \to n_3 \to n_4 \to ..., n_{j+1}=f(n_j)$. Пусть $r_j=ord_2(n_i)$. Тогда если рассмотреть случайную величину $R$, принимающую значения $r_1, r_2, ...$, то можно предположить, что $R$ экспоненциально распределена на $\mathbb{N}$. В таком случае, можно сказать, что мы сначала увеличиваем $n$ примерно в $a$ раз, а затем уменьшаем в $2^r$ раз (перед тем как снова взять $f(n)=an+b$) а в целом всего в $a2^{-r}$ раз, но
$M(R) = \sum\limits_{k=0}^{+ \infty} \frac{k}{2^k}=2$, значит $M(2^R)=4$,
а $a/4<1 \Leftrightarrow a<4$.
Отсюда я предполагаю, что при $a=1;3$ последовательность $n_1, n_2, n_3,...$ остается ограниченной (а в силу дискретности - зацикливается), а при $a \geq 5$ всегда будут неограниченные последовательности. При этом $b$ - любое. Эмпирически вроде так.

Интересно поискать все циклы для отображений для $a=3$. Поиск цикла сводится к поиску минимального элемента $c$ в нем. Эмпирически можно найти ,что если $b=1$, то $c=1$, если $b=3$, то $c=3$, если $b=5$, то $c=1;5;19;23$, если $b=7$, то $c=5;7$. Интересно было бы выяснить, когда $c$ единственно, когда число чисел $c$ конечно. Элемент $c=b$ всегда дает цикл.

[Sonic86]

Сейчас чисто эмпирически нашел такое явление.
Если мы рассматриваем $3n+1$, то большая часть (где-то 70-80% среди чисел меньших 1000) чисел порождает в своей последовательности число 9232 - максимальное число в этой последовательности. На графике очень заметно (Excel), такое же число есть и для $3n+3$ и для $3n+5$. Очень интересно! Надо еще посмотреть числа, превосходящие 10000, как это там выглядит.

Посмотрел:
Максимумы чисел среди всех цепочек, порождаемых n от 1 до 10000 таковы:
1579 максимумов равных 9232
197 максимумов равных 39364
146 максимумов равных 250504
92 максимумов равных 95956
и т.д.
Полос таких максимумов видимо бесконечно много, на графике их хорошо видно, выглядят они наподобие спектра атома, очень сильно видно конечно максимум 9232.

[Mikhail Sokolov]

$M$ - это матожидание? Но тогда из $M(R)=2$ не следует $M(2^R)=4$. Или я чего-то не понял...

[Sonic86]

Я знаю, что это ошибка.
Я и говорю - так, идея, никакого строгого доказательства.
В принипе там и без матожидания степени можно обойтись - конечно оно неверно.

Я просто хотел сказать, что на одно умножение на 3 в среднем приходится деление на 4, поэтому верно, хотя это не док-во.

[Sonic86]

Смотрите, люди на международных олимпиадах издеваются:
http://www.diofant.ru/problem/1539/
А вообще формулировка не сильно тривиальна.
Остальные темы здесь:
topic3689.html
topic9536.html

(Оффтоп)

товарищи модераторы! может быть темы слить? (мои посты можете повыкидывать...)

[Утундрий]

Лично мне нравится эта проблема. Сам-один на нее уйму времени истратил. Если вдруг решите, то не сочтите за труд - пару строчек в ЛС. Очень обяжете, право.