Интересный вопрос

[Amigo]

Пусть дан некоторый фиксированный набор попарно различных КВАДРАТОВ P1,..,Pn
n-конечно ( Попарно различных означает что среди всех квадратов нет 2-х одинаковых)

Спрашивается:
1)Можно ли выложить из этих квадратов некоторый прямоугольник так что бы данные квадраты не пересекались и не находились один внутри другого.
2)Каково минимальное значение n при котором такое разложение возможно
3)Существует ли критерий позволяющий по данной системе прямоугольников за (разумное
время ) ответить на первый вопрос.
4)Для любого наперёд заданного прямоугольника ответить на вопрос «может ли он быть
разложен на какую нибудь систему попарно различных квадратов».
5)Для некоторого k ответить на вопрос « Существуют ли какие либо квадраты P1,..,Pk
Такие что из них можно выложить некоторый прямоугольник»?


Интересно, что если речь идёт о кубах то это невозможно т.е. не существует такого конечного n>1 что из системы попарно различных кубов P1,..,Pn можно было бы выложить некоторый паралелипиппед каковы бы небыли Pi . Вероятно так происходит и с четырёх, пяти и т.д - мерными кубами.
Вопрос:
1)Существует ли доказательство этой гипотизы? Если нет то как можно былобы это доказать?
(просьба излагать любые идеи даже если они не правильные)

Предположим что последнее доказано тогда возникает следующий вопрос:
Существует ли какая либо связь между невозможностью разложения некоторого n-мерного куба на систему попарно различных кубов и невозможностью решения уравнения
X^n+Y^n =Z^n в целых числах при n>2 ?

[Someone]

По поводу разбиения прямоугольника на попарно различные квадраты посмотрите следующую книжечку:

И.М.Яглом, Как разрезать квадрат? "Наука", Москва, 1969.

Там же рассматривается и невозможность разбиения прямоугольного параллелепипеда на попарно различные кубы.
Что касается случая больших размерностей, то там такое разбиение тоже невозможно, причём, работает очень простое рассуждение: если бы существовало разбиение $n$-мерного параллелепипеда на попарно различные $n$-мерные кубы, то их следы на $(n-1)$-мерных гранях параллелепипеда дают разбиения $(n-1)$-мерных прямоугольников на попарно различные $(n-1)$-мерные кубы. Если исходное разбиение содержало больше одного $n$-мерного куба, то по меньшей мере на одной $(n-1)$-мерной грани разбиение будет содержать больше одного $(n-1)$-мерного куба.

[Amigo]

Хотя стороны квадратов можно считать произвольными числами здесь рассматриваются
квадраты только с целыми сторонами.

На первые два вопроса существует точный ответ, а именно:
1)Например квадраты стороны которых относятся как 1:4:7:8:9:10:14:15:18
2)Минимальное количество квадратов из которых можно выложить прямоугольник равно 9.

Доказательство невозможности разложения произвольного паралелиппипеда на
систему попарно различных кубов так же существует. На остальные вопросы ответы (мне)
не извесны.

А основная гипотеза данной темы может быть сформулированна так:
Верно ли что: уравнение X^n+Y^n=Z^n имеет в целых числах решения тогда и только тогда
когда существует разложение некоторого n-мерного куба(паралелипипедда)
на систему попарно различных n-кубов?

[Someone]

Ну, отношения сторон квадратов всегда будут рациональными, так как они определяются из системы линейных уравнений с целыми коэффициентами (посмотрите рекомендованную мной книжечку).
Что касается Вашей гипотезы, то она, конечно, верна. В том смысле, что при $n\geqslant 3$ и разбиения $n$-мерного параллелепипеда на попарно различные $n$-мерные кубы не существует, и уравнение $x^n+y^n=z^n$ не имеет решений в натуральных числах. Но, тем не менее, эти теоремы не имеют ни малейшего отношения друг к другу: из одной другая никаким очевидным образом не следует. Вы же видели, как элементарно выводится теорема о невозможности разбиения параллелепипеда для всех $n>3$ из теоремы для $n=3$, в то время как элементарные доказательства теоремы Ферма неизвестны ни для каких нечётных простых $n$. Если Вы намерены пытаться вывести отсюда теорему Ферма, то только зря потратите время.

[Amigo]

Благодарю SOMEONE за предоставленную литературу и совет.
У меня к Вам есть вопрос " Уверены лично Вы что существующее доказательство
теоремы Ферма верно?"

[Someone]

К сожалению, та область математики, средствами которой получено доказательство теоремы Ферма, от моих интересов бесконечно далека, поэтому я не имею собственного мнения по поводу наличия или отсутствия ошибок в этом доказательстве. Но у меня нет также оснований не доверять специалистам, изучавшим это доказательство. Конечно, они могут ошибаться, но об этом надо спрашивать у других специалистов в той же области.