Исследовать на абсолютную и условную сходимость

[ewert]

Он неграмотно сказал. "Сокращать" -- это в данном случае жаргон, но жаргоном тоже следует пользоваться грамотно.

Должно было иметься в виду следующее. Если вынести за скобки $x^{n+1}$ вверху и внизу и потом сократить, то оставшееся при больших иксах будет стремиться к единице. И это, между прочим, означает, что вся работа -- коту под хвост, т.к. признак Даламбера в этой ситуации не работает.

А вот при малых иксах ничего ни выносить, ни сокращать вообще не нужно. Просто обе скобки -- и вверху, и внизу -- стремятся к минус единице.

[CnapTaK]

ну как вы считаете, если я написал lim| $\frac{{x}({x^n-1})}{x^{n+1}-1}}|=|x|. и потом написал, что при |x|<1 ряд сходится абсолютно, а при |x|>1 расходится, я был прав?

[ewert]

если написали буквально это и ничего больше -- нет, не правы, и по нескольким причинам

[Someone]

CnapTaK писал(а):

ну как вы считаете, если я написал lim| $\frac{{x}({x^n-1})}{x^{n+1}-1}}|=|x|. и потом написал, что при |x|<1 ряд сходится абсолютно, а при |x|>1 расходится, я был прав?

Вам ewert объяснял, что предел не всегда равен $|x|$. Его объяснения сводятся к тому, что

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x(x^n-1)}{x^{n+1}-1}\left|=\begin{cases}|x|\text{, если }|x|<1\text{,}\\ 1\text{, если }|x|>1\text{.}\end{cases}$$

[antbez]

Ewert!

Зачем Вы советовали применить к этому ряду необходимый признак сходимости? Да, он показывает расходимость при $|x|>1$, но при других значениях бессилен!

[bot]

Зачем спрашивать если сами и ответили?

antbez в сообщении #171463 писал(а):

Да, он показывает расходимость при $|x|>1$

И стало быть исключает этот случай из рассмотрения.
Вообще, при рассмотрении сходимости, первое что в голову приходит - это проверка на необходимость. Забыв о нём студент часто теряется, когда ни один из известных ему достаточных признаков не сработал.

[ewert]

antbez в сообщении #171463 писал(а):

Ewert!

Зачем Вы советовали применить к этому ряду необходимый признак сходимости? Да, он показывает расходимость при , но при других значениях бессилен!

Любопытно. А какой признак Вы примените к этому ряду, например, при $x=-2$?

[antbez]

При таком значении расходимость ряда очевидна! (Ну я написал уже выше об этом)

[ewert]

Очевидна -- по какому конкретно признаку?

Поясняю, в чём проблема. Очень многие студенты приводят примерно такое решение: дескать, по признаку Лейбница в точке (-1/2) ряд сходится, а при (-2) расходится. Ну так это неправда: признак Лейбница про расходимость ничего вообще не говорит. И сослаться на необходимое условие -- необходимо.

[MoHcTp]

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+3)^2-(n+2)^2}}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10\cdot n+3}{n^2-n+1}}

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}*\sin(\ln(n))

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \sin\frac{n^2+2}{(n+3)^4}}

парни помогите решить эти примеры

[Jnrty]

А что надо сделать, и каковы Ваши соображения?

P.S. Знак суммы с пределами суммирования набирается так: $\sum_{n=1}^{\infty}\ldots$, или $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ldots$, или

$$\sum_{n=1}^{\infty}\ldots$$

.

$\sum_{n=1}^{\infty}\ldots$, или $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ldots$, или $$\sum_{n=1}^{\infty}\ldots$$

Названия функций следует набирать в виде \sin, \ln (с пробелом, если следующий символ - буква).
Использовать "звёздочки" в качестве знаков умножения в математике не принято. В Вашем случае никакие знаки умножения не нужны вообще, а если позарез понадобились - используйте \cdot.

Jnrty:

Прочтите тему "Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться".

[ИСН]

Третья, кстати, довольно элегантная задача - видимо, случайно попала сюда.

[Полосин]

В первом и втором примерах: воспользуйтесь признаком сравнения. В четвертом примере: оцените общий член ряда по модулю.

[MoHcTp]

поподробней напишите как решать

[Полосин]

Подсказка: ряд с общим членом $a_n=n^{-p}$ сходится при $p>1$ и расходится при $p \le 1$. Признак сравнения: два ряда с неотрицательными членами сходятся или расходятся одновременно, если существуют такие положительные константы $C_1, C_2$, что общие члены этих рядов связаны двойным неравенством $C_1a_n \le b_n \le C_2a_n$. Или в предельной форме: отношение $a_n/b_n$ (знаменатели предполагаются положительными) стремится к конечному положительному числу.